Beginnend am 01.01.15 werden 22 Jahre lang je 18.000€ zu i =7,5% p.a. eingezahlt, um anschließend 25 Jahre lang eine jährliche Rente beziehen zu können (Zinssatz bleibt unverändert). Ein- und Auszahlungen erfolgen jeweils zu Jahresbeginn.
Berechnen Sie die Höhe der Jahresrente.
Für die Einzahlungsphase komme ich mittels der Formel für den Rentenendwert bei vorschüssiger Zahlung $$R_n^V = r*q*\frac{q^n-1}{i}$$ für $$r=1800, \quad q=1,075,\quad n=22, \quad i=0,075$$ auf einen Betrag von 1.008.502,115€ die als Rentenbarwert für die Auszahlung zur Verfügung stehen.
Multipliziere ich den Rentenbarwert noch mit \( 1,075^{25}\) bekomme ich den Rentenendwert der Auszahlungsphase und kann mittels vorheriger Formel nach r umgeformt eine jährliche Rente von 84.161,30€ berechnen. Alternativ spare ich mir das Multiplizieren mit \( 1,075^{25}\) und setzte die 1,008 Mio. € in die Formel für den Rentenbarwert ein $$ R_0^V=r*q*\frac{1-q^{-n}}{i}$$ und komme auf die gleiche jährliche Rente, die laut Lösungen auch korrekt ist.
Wie hoch wäre die Rente monatlich? (Zahltag: Monatsultimo)
Die Einzahlungsphase verändert sich nicht, demnach müssten für den Rentenbarwert ja noch immer 1.008.502,115€ zur Verfügung stehen, bzw. 6.150.188,4€ für den Rentenendwert.
Monatsultimo heißt am Ende des Monats also nachschüssig, außerdem unterjährig. Dafür habe ich für Rentenbar- und Rentenendwert die Formeln $$R_{m*n}^N=r*\frac{\left(1+\frac{i}{m}\right)^{m*n}-1}{\frac{i}{m}},\qquad R_0^N=r*\frac{1-\left(1+\frac{i}{m}\right)^{-m*n}}{\frac{i}{m}}$$ gefunden. Beim Einsetzen in die Formel für den Rentenendwert erhalte ich eine Monatsrente von 7.010,67€, beim Einsetzen in die des Rentenbarwertes eine Monatsrente von 7.452,74€. Wieso erhalte ich zwei unterschiedliche Ergebnisse? Laut Lösung beträgt das richtige Ergebnis 7.292,06€, also stimmen beide Zahlen nicht.
Formeln und Aufgaben stammen nicht von der gleichen Quelle. Habe ich die falschen Formeln erwischt? Bei meinen Nachforschungen bin ich zum Thema Monatszinsen auf "äquivalente Zinsen" vs. "aufgelaufenen einfachen Zinsen" gestoßen, wurde daraus aber nicht wirklich schlau.
Danke für jegliche Hilfe!
