Wie finde ich für ∛5832 einen Startwert für das Newtonverfahren?

Question

Ich brauche hier bitte mal Hilfe.

∛5832 = ? 

Ich möchte es gerne mit dem Newton Verfahren berechnen.

x^3 - 5832 = 0

x (n_1) = x - f(x)/(f'(x)

Leider habe ich keinen Startwert. Die Frage wäre : Wie finde ich einen Startwert dafür ?

Das schriftliche Kubikwurzelziehen habe ich schon gemacht, deswegen mal diese Alternative.

Danke.

Answer 1

Du findest sicher schnell 10^3 =1000 , dann probierst Du 20^3=8000 , also der Wert liegt dann ein bisschen unter 20.

Übrigens , hierzu brauchst Du kein Näherungsverfahren.

(x-18)(x^2+18x+324)=0

Zugegeben nicht gleich auf den 1. Blick.

Comments

Stimmt, ich werde mir das Binom dritten Grades wohl mehr anschauen müssen.

Danke.

Answer 2

10^3=1000 zu klein

20^3=8000 zu groß

15^3=3375 zu klein

17^3=4913 zu klein

18^3=5832 zu... oops

Naja ich denke du weist nun worauf es hinausläuft :).

Das war jetzt nur Zufall, dass der richtige Wert leicht zu raten war. Man kann aber somit einen Wert finden, der nahe an der Lösung liegt. Zur Übung kannst du ja den Startwert x=17 nehmen.

Comments

Danke, klar stimmt. Aber was ist denn generell besser ? Newton oder schriftliches Kubikwurzel ziehen ? Das schriftliche Quadrat Wurzel ziehen ist ja unnötig zu erwähnen, ziemlich einfach.

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Also wenn du so eine Aufgabe der Form x^3=a hast, würde ich das schriftliche Kubikwurzelziehen  anwenden. Wenn du jedoch eine Gleichung der Form

Ax^3+Bx^2+Cx+D=0

(bei der man keine Nullstelle raten kann) oder kompliziertere Gleichungen näherungsweise lösen willst, so bietet sich das Newton Verfahren an.

Answer 3

Hallo IA,

das Newtonverfahren ist bei streng monotonen Funktionen bei den Startwerten nicht pingelig.

(Natürlich erspart man sich "von Hand" bei einem guten Startwert Rechenarbeit)

x	f(x)	f '(x)
- 10	-6832	300
12,77333333	-3747,927912	489,4741333
20,43038333	2695,653508	1252,201689
18,27765224	274,0622856	1002,217714
18,0041964	4,079855578	972,4532644
18,00000098	0,000950634	972,0001056
18	5,18412E-11	972

x	f(x)	f '(x)
100	994168	30000
66,86106667	293063,8619	13411,20671
45,00890464	85347,10641	6077,404491
30,96555661	23859,80999	2876,597088
22,67109991	5820,46407	1541,936313
18,89632399	915,330439	1071,213181
18,0418438	40,76679428	976,524383
18,00009697	0,094257087	972,010473
18	5,07788E-07	972,0000001
18	0	972

Gruß Wolfgang