Für welche x konvergiert diese Potenzreihe: Summe_(n=1)^{unendlich} ( Summe_(k=1)^n ( 1/k * x^n))

Question

habe Probleme mit dieser Potenzreihe:

Hoffe jemand kann mir helfen.

Dankeschön

Summe_(n=1)^{unendlich} ( Summe_(k=1)^n  ( 1/k * x^n))

Answer 1

Hallo Gast ii6922! :-)

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\cdot x^n  \right)= \sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n ,\quad a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}, \quad \lim_{n \to \infty}a_n = \infty\\a_{n+1}= a_n + \frac{1}{n+1}\\\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}= x\cdot\frac{a_{n+1}}{a_n}= x\cdot\frac{a_n + \frac{1}{n+1}}{a_n}=x\cdot \left(1+\frac{\frac{1}{n+1}}{a_n}  \right) = x \cdot \left(1 +\frac{1}{a_n(n+1)}  \right) \\ \\\lim_{n \to \infty} \left |\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right|=\lim_{n \to \infty} |x| \cdot \left(1 +\frac{1}{a_n(n+1)}  \right) =  |x|\cdot \lim_{n \to \infty}  \left(1 +\frac{1}{a_n(n+1)}  \right) = |x| \cdot\left( 1 + \frac{1}{\infty(\infty+1)}  \right)= |x| \cdot\left( 1 + 0  \right) = |x|$$

Die Reihe konvergiert schon mal für alle \( |x| < 1 \).

Randverhalten für \( x = 1  \):
\( \sum_{n=1}^{\infty}a_n1^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty \), die Reihe divergiert für \( x = 1  \).

Randverhalten für \( x = -1  \):
\(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n(-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n} = -\ln(2) \), die Reihe konvergiert für \( x = -1  \).

Die Reihe konvergiert für alle \( x \in [-1, 1) \).

Beste Grüße
gorgar

Comments

Sinniger waere es, auch auf dem Rand die vorgegebene Reihe zu betrachten und nicht irgendeine andere.

Auch ist nicht recht klar, warum in einer ausformulierten Komplettloesung nicht gleich die bekannte Formel für den Konvergenzradius benutzt wird.

Answer 2

Da liegt tatsaechlich eine Potenzreihe vor: $$\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{\ell=1}^n\frac{x^n}{\ell}\right)=\sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{\ell=1}^n\frac{1}{\ell}\right)x^n=\sum_{n=1}^\infty H_nx^n$$ mit $$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}.$$ Berechnung des Konvergenzradius wie ueblich. Die Formel $$R=\lim_{n\to\infty}\frac{H_n}{H_{n+1}}$$ bietet sich an.