Vektorgeometrie - Funktionsgleichung im Raum

Question

Wie berechne ich eine Funktionsgleichung zB von 2 Vektoren im Raum:

A(-2/5/-4) , B(10/-1/-2)

ist dann AB = -12/6/-2 ??

und wie rechne ich dann, ob zB C (-8/8/-6) auf dieser Geraden liegt?

MFG

Answer 1

wie rechne ich dann, ob zB C (-8/8/-6) auf dieser Geraden liegt? 

Du meinst auf der Geraden durch die Punkte A und B? Oder auf der Strecke AB ? 

A(-2/5/-4) , B(10/-1/-2)

ist dann AB = -12/6/-2 ??

Nein. Vektor AB = (12|-6|2)          . Überlege dir, wie du von A nach B kommst (nicht umgekehrt!)

Du meinst auf der Geraden durch die Punkte A und B?

Berechne z.B. den Vektor AC. AC = (-6 | 3 | -2) .

Hier gilt nun beinahe aber nicht ganz (-2)* AC = AB.

Denn (-2)*(AC) = (12|-6|4) ≠ (12|-6|2) = AB

Die Punkte A B und C liegen daher nicht auf derselben Geraden.

Skizze:

 

Answer 2

X = A + r * AB

X = [-2, 5, -4] + r * ([10, -1, -2] - [-2, 5, -4])

X = [-2, 5, -4] + r * [12, -6, 2]

Um zu prüfen ob C auf der gerade niegt. Schau ob AC ein vielfaches von AB ist.

AC = [-8, 8, -6] - [-2, 5, -4] = [-6, 3, 2]

AC ist nicht linear Abhängig zu AB und damit liegt C nicht auf der Geraden.

Comments

Wieso ein vielfaches? Also wie kann man daraus sehen, ob es linear ist? und was ist eigentlich r?

vielen Dank

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Wieso ein vielfaches?

Vielfaches weil die Richtungsvektoren AB und AC die Gleiche Richtung haben müssen. Sie brauchen nur nicht gleich lang sein und auch nicht die gleiche Orientierung haben.

Also wie kann man daraus sehen, ob es linear ist?

Was meinst du genau?

was ist eigentlich r?

r ist eine reelle Zahl. Für jede reelle Zahl r ergibt sich ein Ortsvektor X eines Punktes der Geraden.

Bitte lies dir auch mal die Kapitel in deinem Arbeitsbuch durch. wenn du das machst, sollte dir einiges viel klarer werden. Es kann auch nicht schaden eventuell Lineare Funktionen nachzuarbeiten.

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> Wieso ein vielfaches?

Wenn man den Vektor von A nach C so verlängern, verkürzen oder in der Richtung umkehren kann, dass der Vektor von A nach B entsteht, dann liegen A, B und C auf der gleichen Gerade.

Dieses Verlängern, Verkürzen und in der Richtung umkehren macht man, indem den Vektor von A nach C mit einer geeigneten Zahl multipliziert. Diese Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nennt man auch "Vervielfachen".

> Also wie kann man daraus sehen, ob es linear ist?

Wen meinst du mit "es"?

> und was ist eigentlich r?

r ist ein sogenannter Parameter. Der hat ungefähr die gleiche Funktion wie das x in der Funktionsgleichung f(x) = 2x + 3: man kann Zahlen einsetzen um Werte auszurechnen. Nur das bei der Funtionsgleichung der Wert die y-Koordinate eines Punktes auf dem Graphen der Funktion ist, während in der Gleichung X = A + r * AB der Wert der Ortsvektor eines Punktes auf einer Geraden ist.

Answer 3

AB = B - A = (12;-6;2). Dann lautet die geradengleichung (x;y;z)=(-2;5;-4)+k(12;-6;2).

(-8;8;-6) für (x;y;z) einsetzen (-8;8;-6) = (-2;5;-4)+k(12;-6;2). Für k=-1/2 stimmt das. Der Punkt liegt auf der Geraden.

Comments

Für k=-1/2 stimmt das.
Verrechnet?

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Ja, verrechnet. Kommt bei mir manchmal vor. Tut mir leid.