Genaue Seitenlängen eines gleichseitigen Dreiecks aus Abständen von innerem Punkt?

Question

Sei P ein innerer Punkt in einem gleichseitigen Dreieck ABC, der von den Ecken A, B und C die Abstände 3, 4, und 5 hat. Wie lang genau ist die Seite des Dreiecks ABC?

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Könnte man vielleicht den Umkreisradius r=3 nehmen und danach irgendwie geschickt strecken?

Ansonsten: Hast du schon versucht die Konstruktion bei https://www.mathelounge.de/420235/konstruktion-eines-dreiecks-abstanden-eines-inneren-punktes in eine Rechnung umzuwandeln?

EDIT: 3.9. Inkreis durch Umkreis ersetzt.

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Lu: Ja das habe ich erfolgreich versucht. Nun will ich weitere Experten dazu herausfordern (z.B. dich).

Answer 1

Könnte \(\large s=\sqrt{25+12\sqrt3}\) stimmen?

Comments

Ja das stimmt.

Answer 2

Ich komme auf a = √(25+12√3)?

Grüße

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Das ist richtig.

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Allgemein ergibt sich mit  den Abständen a, b und c und den

Abkürzungen u = (a^2+b^2+c^2)/2  und  v = (a^4+b^4+c^4)/2

die gesuchte Seitenlänge s zu  s = √ (u + √ (3u^2 - 3v) )  .

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Allgemein ergibt sich mit  den Abständen a, b und c und den

Abkürzungen u = (a²+b²+c²)/2  und  v = (a⁴+b⁴+c⁴)/2

die gesuchte Seitenlänge s zu  s = √ (u + √ (3u² - 3v) ).

Kannst du das begründen?

Answer 3

http://www.mathematische-basteleien.de/dreieck.htm

http://mathforum.org/library/drmath/view/61863.html

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Danke für die Links. Ich sehe daran, dass das Problem bereits an anderen Stellen gelöst wurde.