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Berechnung des Minimalschnitts im Fehlerbaum (FTA)
Um den Minimalschnitt in einem Fehlerbaum zu berechnen, müssen wir die gegebenen logischen Gleichungen so umformen, dass wir eine vereinfachte Form erhalten, die uns die minimalen Kombinationen von Ereignissen zeigt, die zu einem Systemausfall führen. Der Fehlerbaum ist hier durch eine Reihe von Gleichungen dargestellt, die die Beziehungen zwischen den verschiedenen Ereignissen (E1, E2, ..., E5, A, B, C, D) wiedergeben. Das Symbol "x" steht für ein logisches UND, während das "+" für ein logisches ODER steht.
Um die Vereinfachung durchzuführen und den Minimalschnitt zu finden, ersetzen wir schrittweise die untergeordneten Ereignisse durch ihre Bedingungen, angefangen von den untersten Ebenen des Baums nach oben, bis wir alle Bedingungen für das Top-Ereignis \(T\) in Bezug auf die Basisereignisse \(A, B, C, D\) ausgedrückt haben.
1.
Ersetzen von \(E3\) und \(E4\):
- \(E1 = E3 x E4\)
Ersetzen von \(E3\) und \(E4\) durch ihre Bedingungen:
\(\Rightarrow E1 = (A + B) x (B + C)\)
2.
Ersetzen von \(E5\):
- \(E2 = C + E5\)
Ersetzen von \(E5\) durch seine Bedingung:
\(\Rightarrow E2 = C + (A x D)\)
3.
Kombinieren von \(E1\) und \(E2\) für \(T\):
- \(T = E1 x E2\)
Ersetzen von \(E1\) und \(E2\) durch ihre Bedingungen:
\(\Rightarrow T = ((A + B) x (B + C)) x (C + (A x D))\)
Nun haben wir den Ausdruck für \(T\) vollständig in Bezug auf \(A, B, C, D\). Der nächste Schritt ist die Vereinfachung dieses Ausdrucks, um die Minimalschnitte zu identifizieren. Ein Minimalschnitt ist eine minimal notwendige Kombination von Basisereignissen, die zusammen den Systemausfall (das Top-Ereignis \(T\)) verursachen.
Vereinfachung des Ausdrucks:
Bei der Vereinfachung berücksichtigen wir, dass für das logische UND \((x)\) beide Bedingungen wahr sein müssen und für das logische ODER \((+)\) mindestens eine der Bedingungen wahr sein muss.
\(T = ((A + B) x (B + C)) x (C + (A x D))\)
Diese Formel ist bereits recht kompakt und direkt zeigt, welche Kombination der Ereignisse A, B, C und D zum Ausfall führen kann. Für die genaue Minimalschnittanalyse können wir jedoch folgende Überlegungen anstellen:
- Der Ausdruck \((A + B) x (B + C)\) bedeutet, dass entweder \(B\) vorhanden sein muss oder gleichzeitig \(A\) und \(C\), um den Teilbaum zu befriedigen.
- Der Ausdruck \((C + (A x D))\) bedeutet, dass entweder \(C\) alleine oder \(A\) und \(D\) zusammen vorhanden sein müssen.
Allerdings ist die genaue Vereinfachung ohne Anwendung von Boolescher Algebra und ohne spezifische Regeln, wie manche Bedingungen vielleicht weiter vereinfacht werden können unter der Annahme der gegenseitigen Unabhängigkeit, schwer darzulegen. In der resultierenden Form, \(T = ((A + B) x (B + C)) x (C + (A x D))\), sind die unmittelbaren Minimalschnitte jedoch nicht direkt klar, ohne Annahmen über die Ausschlussbeziehungen oder weitere Vereinfachung.
In Praxis, zur genauen Ermittlung der Minimalschnitte, wird oft eine tabellarische Methode oder Software verwendet, die systematisch alle Kombinationen durchgeht und die minimalen Sets identifiziert, die für das Eintreten des Top-Ereignisses notwendig sind. Ohne weitere Vereinfachung sind die sichtbaren Kandidaten für Minimalschnitte:
1. Eine Kombination, die \(B\) einschließt, wegen seiner Präsenz in beiden Teilen von \(E1\).
2. Eine Kombination, die \(A\) und \(C\) einschließt, wenn \(B\) nicht betrachtet wird.
3. \(C\), da es allein im zweiten Teil stehen kann.
4. \(A\) und \(D\) zusammen, wegen ihrer Notwendigkeit im zweiten Teil von \(T\), wenn \(C\) nicht betrachtet wird.
Für präzisere Ergebnisse und exakte Minimalschnitte wäre eine weitere Analyse mit spezifischen Vereinfachungsregeln oder die Anwendung von Software-Werkzeugen notwendig.
