Potenzreihe mit nur einer natürlichen Zahl.

Question

$$ \sum _{ k=8 }^{ \infty  }{ 5\cdot \quad \left( 1-2x \right) ^{ 4k } } $$

die Folge ist hier ja nur ; a_k= 5 ?

Wie geht man hier ran ?

Answer 1

substituiere \( z=(1-2x)^4 \)
\( z^k = \left((1-2x)^4  \right)^k = (1-2x)^{4k} \)
Das ergibt die geometrische Reihe
\( \sum_{k=8}^{\infty} 5(1-2x)^{4k} =  \sum_{k=8}^{\infty} 5z^k \)
Diese geometrische Reihe konvergiert für alle \( |z| < 1 \), d.h. nach Resubstitution für alle \( |(1-2x)^4| < 1 \).
Die Auflösung der Ungleichung \( |(1-2x)^4| < 1 \) führt zum Konvergenzintervall  \( (0, 1) \).

Answer 2

> die Folge ist hier ja nur ; a_k= 5 ?

Welche Folge?

Es gilt Punkt- vor Strichrechnung. Somit ist \(\sum_{k=8}^{\infty}5\cdot(1-2x)^{4k} = \sum_{k=8}^{\infty}\left(5\cdot(1-2x)^{4k}\right)\) und nicht \(\sum_{k=8}^{\infty}5\cdot(1-2x)^{4k} = \left(\sum_{k=8}^{\infty}5\right)\cdot(1-2x)^{4k}\)

Comments

und wie bekomme ich mein Konvergenzintervall, was ist denn mein q ?

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Buchstaben haben keine Bedeutung, außer du gibst ihnen eine.

Wenn du Buchstaben eine Bedeutung gibst, dann solltest du dass auch all denen mitteilen, mit denen du kommunizierst.

Ich weiß zum Beispiel nicht, welche Bedeutung der Buchstabe q für dich hat.

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Also q ist quasi die hin. bed. für die Konvergenz,[ rho = 1/q, der Konvergenzradius.]

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Ich soll ein Konvergenzintervall bestimmen und ich weiss nur nicht, wie ich hier vorgehen soll, weil es sich hier um Produkt handelt. Einfach stumpf ausmuliplizieren?

...bin müde.

Answer 3

das ist eine geometrische Reihe mit mit q =(1-2x)^4

Wann konvergiert diese ?