Hesseform aus 3 Punkten bestimmen

Question

A=(-2,0,1) B=(0,1,2) C=(3,-2,-1)

Bestimmen Sie die Hessesche Normalenform der Ebene E durch A, B und C

Ich habe alles ausprobiert komme nicht auf das ergebniss

Zuerst mache ich die 2 Richtungsvektoren AB und AC und daraus das Kreuzprodukt.

Den nächsten Schritt verstehe ich aber nicht mehr, ich weiß, dass man dann den Einheitsvektor berechnen muss (glaube ich ) mehr aber weiß ich nicht mehr

die Lösung ist HNF : (-y+z)/wurzel2 = 1/wurzel2

Ist eine Matheübung die ich mache.

Answer 1

Zuerst mache ich die 2 Richtungsvektoren AB und AC und daraus das Kreuzprodukt.

Das gibt dann [ 0 ; -9 ; +9 ] 

Das ist ein Normelenvektor für E

Gleichung von E also 

0*x - 9y  +9z = d 

Und jetzt einen Punkt einsetzen , etwa A, das gibt d=9

also E : -9y + 9z = 9 

Dann normieren: Die Länge von  [ 0 ; -9 ; +9 ]  ist 9*√2 

also alles dadurch teilen gibt

E :    (-y+z)/wurzel2 = 1/wurzel2.

Comments

Warum ist d=9?

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Aso, wenn man A einsetzt kommt 9 raus, alles gut

Aber den letzten schritt kapier ich bisschen nicht, kannst den nochmal kurz erklären`?

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Wenn du A einsetzt in 

0*x - 9y  +9z = d 

hast du 

0*(-2) - 9*0  +9*1 = d 

also d=9

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Bei  -9y + 9z = 9 

ist der Normalenvektor  [ 0 ; -9 ; 9 ] 

Dessen länge ist  wurzel ( 0 + 81 + 81 ) = 9*√2

und dadurch musst du auf beiden Seiten teilen.