Unbekannte freistellen in Gleichung mit vielen Variablen

Question

ich wäre Euch für Eure Unterstützung bei meiner Frage wirklich sehr dankbar, da ich mir schon seit Tagen den Kopf zerbreche.

Ich habe eine Gleichung mit sehr vielen Variablen:

Z=(X*(1-Y)/(1+C)+A*B/(1+C)-D-F/G-H*I-X*(1-Y)*(J+K+L)-M*N-(X*(1-Y)/(1+C)+A*B/(1+C)-D+O+P)*Q)/(X*(1-Y)/(1+C))

In dieser Gleichung möchte ich X freistellen. Meine Umstellungen ergeben folgende Lösung, allerdings hält sie meiner Überprüfung mit Beispielwerten für die Variablen dann nicht Stand.

Meine offensichtlich nicht korrekte Lösung:

X=(A*B*(1-Q)+((O+P-D)*Q-D-F/G-H*I-M*N)*(1+C))/((1-Y)*(Z-1+Q+(J+K+L)*(1+C)))

Findet Ihr den Fehler?

Tausend Dank,
Tobi

Comments

Dieses Wirrwarr zu lesen und zu entschlüsseln wird sich kaum einer antun. Kannst du es nicht übersichtlicher darstellen?

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Da hast du wahrscheinlich recht, leider liegt aber letztlich genau darin meine Schwierigkeit. Ich vermute mein Fehler entsteht bei dem Versuch die Gleichung umzustellen...

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Es ist aber schwierig zu sehen, wo bei dir z.B. ein Nenner aufhört. Kannst du ein Foto der Originalaufgabe einstellen?

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Habe ich in Excel aufgesetzt. Erkennt man es so schon besser? Falls nicht, muss ich nochmal mit dem Buntstift ran ;-)

Z=
(

X*(1-Y)/(1+C)
+A*B/(1+C)
-D
-F/G
-H*I
-X*(1-Y)*(J+K+L)
-M*N
-(

X*(1-Y)/(1+C)
+A*B/(1+C)
-D+O+P
)*Q

)

/(X*(1-Y)/(1+C))

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Deine Gleichung konnte ich so, wie sie zuallererst gegeben wurde, in mein CAS kopieren. Das CAS  hat dann auch brav nach x aufgelöst. Diese Lösung konnte ich nicht auf diese Seite kopieren. Ich hatte sie abschreiben und hierher übertragen müssen. Das war mir zu viel Arbeit..

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ich hänge meine Rechnung für Z jetzt einmal hier als Excel an. Mein Problem ist ja, dass ich Z kenne aber X unbekannt ist und ich daran scheitere die Gleichung korrekt umzustellen.

Ich habe auch die beiden Lösungsvorschläge in die Excel eingefügt. Dort sieht man zum ersten Lösungsvorschlag, dass Z mit dem errechneten X (37,4648542321472) nicht 0,1 sondern 0,1179[...] ergibt. Hier gibt es also noch einen Fehler.

Beim zweiten Lösungsvorschlag errechne ich X=28,3733341, wenn ich dieses X dann aber in meine Z-Rechnung einfüge, komme ich hier auch nicht auf den passenden Z-Wert (0,1).

Sieht hier jemand den Fehler und hat die korrekte Gleichung, um X zu errechnen?

Danke nochmal!

Tobi

Beispielrechnung.xlsx (11 kb)

Answer 1

Huhu! :-)

Z=( X*(1-Y)/(1+C)+A*B/(1+C)-D-F/G-H*I-X*(1-Y)*(J+K+L)-M*N-(X*(1-Y)/(1+C)+A*B/(1+C)-D+O+P)*Q ) / (X*(1-Y)/(1+C)) |* entfernen

Z=( X(1-Y)/(1+C)+AB/(1+C)-D-F/G-HI-X(1-Y)(J+K+L)-MN-(X(1-Y)/(1+C)+AB/(1+C)-D+O+P)Q ) / (X(1-Y)/(1+C))
a:=(1-Y), b:=(1+C)

Z = ( Xa/b+AB/b-D-F/G-HI-Xa(J+K+L)-MN-(Xa/b+AB/b-D+O+P)Q ) / (Xa/b) |*(Xa/b)
Z(Xa/b) = (Xa/b + AB/b - D -F/G - HI - Xa(J+K+L) - MN - (Xa/b+AB/b-D+O+P)Q) | überflüssige Klammern weglassen
ZXa/b = Xa/b + AB/b - D -F/G - HI - Xa(J+K+L) - MN - (Xa/b+AB/b-D+O+P)Q | Klammern [] setzen
ZXa/b = Xa/b + AB/b - D -F/G - HI - [Xa(J+K+L)] - MN - [(Xa/b+AB/b-D+O+P)Q] | Klammer () ausmultiplizieren
ZXa/b = Xa/b + AB/b - D -F/G - HI - [XaJ + XaK + XaL] - MN - [XaQ/b + ABQ/b -DQ + OQ + PQ] | Klammern auflösen
ZXa/b = Xa/b + AB/b - D - F/G - HI - XaJ - XaK - XaL - MN - XaQ/b - ABQ/b +DQ - OQ - PQ    | X ausklammern
ZXa/b = X(a/b - aJ - aK - aL - aQ/b) + AB/b - D - F/G - HI  - MN - ABQ/b +DQ - OQ - PQ    | - X(a/b - aJ - aK - aL - aQ/b)
ZXa/b - X(a/b - aJ - aK - aL - aQ/b) = AB/b - D - F/G - HI  - MN - ABQ/b +DQ - OQ - PQ        |X ausklammern
X(Za/b - (a/b - aJ - aK - aL - aQ/b)) = AB/b - D - F/G - HI  - MN - ABQ/b +DQ - OQ - PQ   | Klammern auflösen
X(Za/b - a/b + aJ + aK + aL + aQ/b) = AB/b - D - F/G - HI  - MN - ABQ/b +DQ - OQ - PQ   | a/b und 1/b und Q ausklammern
X( a/b(Z-1+Q) + a(J+K+L) ) = (AB - ABQ)/b - D - F/G - HI  - MN + Q(D - O - P)    |  a ausklammern
X( a((Z-1+Q)/b + (J+K+L)) ) = (AB - ABQ)/b - D - F/G - HI  - MN + Q(D - O - P)    |  / [a((Z-1+Q)/b + (J+K+L))]
X = [(AB - ABQ)/b - D - F/G - HI  - MN + Q(D - O - P)] / [ a((Z-1+Q)/b + (J+K+L)) ]    | Zähler und Nenner auf Hauptnenner bringen
X = [(AB - ABQ)G/(Gb) - DGb/(Gb) - FGb/(Gb) - HIGb/(Gb)  - MNGb/(Gb) + QGb(D - O - P)/(Gb)] / [ a((Z-1+Q)/b + (J+K+L)b/b) ]    | Zähler zusammenfassen
X = [ ((AB - ABQ)G - DGb - FGb - HIGb  - MNGb + QGb(D - O - P))/(Gb) ] / [ a(Z-1+Q + (J+K+L)b)/b ]    | Division der Brüche
X = [ ((AB - ABQ)G - DGb - FGb - HIGb  - MNGb + QGb(D - O - P))/(Gb) ] * b/[a(Z-1+Q + (J+K+L)b)] | kürzen
X = [ ((AB - ABQ)G - DGb - FGb - HIGb  - MNGb + QGb(D - O - P))/G ] * 1/[a(Z-1+Q + (J+K+L)b)] | b ausklammern [] weglassen
X = ((AB - ABQ)G - b(DG + FG + HIG + MNG - QG(D - O - P)))/G  * 1/[a(Z-1+Q + (J+K+L)b)]
(1-Y):=a, (1+C):=b
X = ((AB - ABQ)G - (1+C)(DG + FG + HIG + MNG - QG(D - O - P)))/G  * 1/[(1-Y)(Z-1+Q + (J+K+L)(1+C))] | G im Zähler kürzen
X=((AB-ABQ)-(1+C)(D+F+HI+MN-Q(D-O-P)))/((1-Y)(Z-1+Q+(J+K+L)(1+C))) | AB ausklammern

X = (AB(1-Q) - (1+C)(D+F+HI+MN - Q(D-O-P))) / ((1-Y)(Z-1+Q+(J+K+L)(1+C)))

Comments

Schade, dass die Darstellung hier so eng ausfällt, dass die Breite des Monitors nicht genutzt wird. Wenn man das in einen Texteditor kopiert, wird es etwas leserlicher.

http://www.writeurl.com/publish/pt74wg293nul6p2iflbo

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Vielen Dank für die Mühe!

Bei der Übertragung in meine Excel-Rechnung und der Überprüfung mit Beispielwerten sehe ich leider weiter eine Abweichung. Ich muss mich noch einmal näher reinfuchsen und ggf. die Excel-Datei zur Verfügung stellen.

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Ich habe es auch mit einigen Werten durchgespielt. Manche Werte stimmen exakt, vor allem bei ganzzahligen Lösungen. Bei manchen Werten bekomme ich auch Abweichungen, einige Stellen nach dem Komma. Ich denke mal, dass es rechnerbedingte Rundungsfehler sind.

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Wozu brauchst Du das? :D

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Ich habe oben als Kommentar jetzt eine Beispielrechnung als Excel angehängt mit Werten für die Variablen, da kann man die Abweichung im Ergebnis sehen.

Mir scheint es auch nicht korrekt, dass die Variable G komplett rausgekürzt wird... Hat inhaltlich in meiner Rechnung nämlich in jedem Fall eine Auswirkung.

Habe schon so lange auf diese Gleichung geschaut und werde langsam wahnsinnig x-)

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Ich habe tatsächlich einen Fehler gefunden und zwar in der nächste Zeile nach "Zähler und Nenner auf den Hauptnenner bringen".

Demnach könntest Du mal diese Zeile auf Abweichungen prüfen: X = [(AB - ABQ)/b - D - F/G - HI  - MN + Q(D - O - P)] / [ a((Z-1+Q)/b + (J+K+L)) ]    | Zähler und Nenner auf Hauptnenner bringen

Wenn die okay ist kann man die wohl ruhig so stehen lassen. Du müsstest noch die Resubstitution (1-Y):=a, (1+C):=b durchführen. Ich habe jetzt leider wenig bis keine Zeit dafür.

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Perfekt! Jetzt stimmt es!!!

Danke dir! :-)

Answer 2

Ich hab mal versucht es etwas zu strukturieren, vielleicht hilft das ja :

Erst mal zwei Substitutionen:

$$R=\frac { ab }{ 1+c }-d-\frac { f }{ g }-hi-mn$$
$$S=\frac { ab }{ 1+c }-d+o+p$$
Dann wird es

$$ z=\frac { \frac { x*(1-y) }{ 1+c } +R-x(1-y)(j+k+l)- (\frac { x*(1-y) }{ 1+c } +S ) }{ \frac { x*(1-y) }{ 1+c } } $$

Das forme ich mal was um

$$ z=\frac { \frac { x*(1-y) }{ 1+c } +R-x(1-y)(j+k+l)- (\frac { x*(1-y) }{ 1+c } +S ) }{ \frac { x*(1-y) }{ 1+c } } $$
$$ z= ( \frac { x*(1-y) }{ 1+c } +R-x(1-y)(j+k+l)- (\frac { x*(1-y) }{ 1+c } +S )*q )* { \frac {1+c  }{  x*(1-y)} } $$
$$ z= 1 +\frac {R(1+c)  }{  x(1-y)} -(1+c)(j+k+l)-q - \frac { S*q*(1+c) }{ x*(1-y) }  $$
$$ z-1 +(1+c)(j+k+l)+q = \frac {R(1+c)  }{  x(1-y)} - \frac { S*q*(1+c) }{ x*(1-y) }  $$
$$ z-1 +(1+c)(j+k+l)+q = \frac {(R-  S*q)*(1+c) }{  x(1-y)} $$
$$ x = \frac {(R-  S*q)*(1+c) }{  (z-1 +(1+c)(j+k+l)+q)(1-y)} $$
Und jetzt wieder R und S einsetzen.

Comments

Auch hier tausend Dank!

Aber auch hier stimmten die Werte bei der ersten Überprüfung noch nicht überein.

Ich prüfe morgen noch einmal...