Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten: a) f(x) = -x^2 + 2x + 4, …

Question

Was soll ich machen, nachdem ich die 2. Ableitung bestimmt habe?

Die Aufgabe lautet:

Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmunngsverhalten der Graphen von f.
a) \( f(x)=-x^{2}+2 x+4 \)
b) \( f(x)=x^{3}-x \)
c) \( f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x-5 \)
d) \( f(x)=x^{4}+x^{2} \)
e) \( f(x)=x^{4}-6 x^{2} \)
f) \( f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+3 x^{2}-2 \)
g) \( f(x)-\frac{1}{3} x^{6}-20 x^{2} \)
h) \( f(x)=\frac{1}{20} x^{5}+\frac{1}{2} x^{4}+\frac{3}{2} x^{3} \)
i) \( f(x)=(x+2)^{2} \cdot(x-1)^{2}-3 \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Krümmungsverhalten der Graphen von f

Stichworte: krümmung,funktion

die aufgabe ist: Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten der Graphen von f.

1.     f(x) = 1/4 x hoch 4 + 3x hoch 2 - 2 

2. f(x) = (x+2) hoch 2 • (x-1) hoch 2 - 3

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Guckst Du hier https://www.mathelounge.de/469392/untersuchen-sie-rechnerisch-das-krummungsverhalten?show=469412#c469412

Answer 1

2. Ableitung kleiner 0 heißt:  Rechtskrümmung

also etwa bei a)  f ' ' (x) = -2  also immer  f ' ' (x) < 0

also ist der Graph andauernd rechtsgekrümmt.

Passt auch:   nach unten offene Parabel.

und bei b) etwa   f ' ' (x) = 6x , also

f ' ' (x) < 0   <==>    x < 0

also über ] - ∞ ; 0 [  Rechtskrümmung

und  über ] 0  ;   ∞  [  Linkskrümmung   

Answer 2

Guckst Du hier https://www.mathebibel.de/kruemmungsverhalten

Comments

wir ist es bei aufgabe 3f ? Bei der 2. ableitung kommt 3x^2+6 raus

was muss ich jetzt machen?

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Ist im verlinkten Artikel auch beschrieben ;-)

Finde heraus für welche x die zweite Ableitung, also 3x²+6 negativ und für welche x sie positiv ist. Hier kannst Du einsetzen was Du willst, die zweite Ableitung ist immer größer 0.

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eie jetzt also rechtskrümmubg?

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f''(x) > 0 bedeutet rechtsgekrümmt, die zweite Ableitung ist positiv, also größer Null.

Dafür gibt's doch die Smiley-Regel:

Zweite Ableitung positiv, fröhlicher Smiley, die Funktion ist  linksgekrümmt.

Zweite Ableitung negativ, trauriger Smiley, die Funktion ist rechtsgekrümmt.

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jaa aber muss ich jetzt vei 3x^2+6 eif rechtskrümmung sagen oder wendepunkte bestimmen

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Hmmm bitte was?

In der Aufgabe steht: 3 Untersuchen Sie rechnerisch das Krümmungsverhalten der Graphen von f.

Da lese ich nichts von Wendepunkten.

Für alle x ∈ ℝ gilt f''(x) = 3x²+6 > 0. Daraus folgt die Linkskrümmung des Graphen von f.
Punkt. Aufgabe fertig. Nächste Aufgabe.

:-)

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f(x) = (x+2)^2 * (x-1)^2 - 3
Die Ableitungen dieser Funktion dürften sich einfacher berechnen lassen, wenn man die Klammern loswird.

f(x) = (x+2)^2 * (x-1)^2 - 3 = ((x+2)(x-1))^2 - 3 = (x^2 + x - 2)^2 - 3
Wir benutzen die erste binomische Formel und setzen a = x^2 und b = (x-2).
(x^2 + x - 2)^2 - 3 = (x^2)^2 + 2x^2*(x-2) + (x-2)^2 - 3 =
x^4 + 2x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x + 4 - 3 = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 1
Wir haben die Funktion umgeformt zu
f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 1
Die Ableitungen sind jetzt einfach berechenbar:
f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x
f''(x) = 12x^2 + 12x - 6

Die zweite Ableitung ist eine quadratische Funktion der Form ax^2 + bx + c, ihr Graph ist eine Parabel. Weil c < 0 und a > 0 sind, wissen wir, dass die Parabel Nullstellen hat, denn wegen a>0 ist sie nach oben geöffnet und wegen c<0 nach unten verschoben. Jetzt berechnen wir die Nullstellen der zweiten Ableitung:
12x^2 + 12x - 6 = 0 | :12
x^2 + x - 1/2 = 0
Das lösen wir per pq-Formel und bekommen die Lösungen
x_1 = -1/2(√3 + 1) < 0
x_2 = 1/2(√3 - 1) > 0
Im Bereich -1/2(√3 + 1) < x < 1/2(√3 - 1) ist die zweite Ableitung also negativ.
Das bedeutet, dass der Graph von f in diesem Bereich rechtsgekrümmt ist.
Der "Rest" des Graphen ist demnach linksgekrümmt, das sind die Intervalle (-∞, -1/2(√3 + 1)) und (1/2(√3 - 1), ∞).

Answer 3

Ich gehe einmal von
f ´´ ( x ) = 3x² + 6

aus. Jetzt muß du folgendes überprüfen. Wann ist
f ´( x ) > 0 ( Linkskrümmung )
f ´´ ( x ) = 0 ( Wendepunkt )
f ´´ ( x ) < 0 ( Rechtskrümmung )

Fangen wir mit dem einfachsten an
f ´´ ( x ) = 0
f ´´ ( x ) = 3x² + 6 = 0
3x² + 6 = 0
3x^2 = -6
keine Lösung. Eine Quadratzahl x^2 ist immer positiv
oder gleich 0.

f ´( x ) > 0 ( Linkskrümmung )
f ´( x ) = 3x² + 6 > 0
3x^2 > -6
stets. Die Funktion ist überall linksgekrümmt.

Bei Bedarf nachfragen. Gilt auch für die anderen
Aufgaben.

Comments

f(x) = (x+2) hoch 2 • (x-1) hoch 2 - 3
f ( x ) = [ ( x+2)*(x-1) ]^2 - 3
f ( x ) = [ x^2 + x -2 ]^2 - 3
f ´( x ) = 2 * ( x^2 + x -2 ) * ( 2x + 1 )
f ´´ ( x ) = 2 * ( 2*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 )

Wendepunkte
2 * ( 2*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 ) = 0
2*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 = 0
Die erste Lösung kann erraten werden.
x = 1.

( 2*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 ) : ( x -1 ) =
2 * x^2 + 5x + 2

2 * x^2 + 5x + 2 = 0
x = -2
x = -1/2

Wendepunkte
x = - 2
x = -1/2
x = 1

Male einmal einen Zahlenstrahl.
Tage die Punkte ein und ermittele
die Krümmung zwischen den Punkten
z.B. zwischen x = -1/2 und x = 1
für x = 0
f ´´ ( x ) = 2 * ( 2*x^3 + 3*x^2 -3*x - 2 )
f ´´ ( 0 ) = 2 * ( 2*0^3 + 3*0^2 -3*0 - 2 )
f ´´ ( 0 ) = -2
Bei x = 0 ist Rechtskrümmung.
Durchführen für z.B.
x = -3
x = -1
x = 2

Soviel zunächst.

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f ´´ ( x ) = 2 * ( 2*x³ + 3*x² -3*x - 2 )
Fehler : es muß heißen
f ´ ( x ) = 2 * ( 2*x³ + 3*x² -3*x - 2 )
f ´´( x ) = 12 x^2 + 6x - 3 )

Kommst du alleine klar ?
Sonst wieder melden.

Answer 4

Die 1.Funktion habe ich dir im anderen Strang
beantwortet.
f(x) = (x+2) hoch 2 • (x-1) hoch 2 - 3
f ´ ( x ) = 2* ( x + 2 ) * 1
stimmt das mal ?