Krümmungsverhalten rechnerisch bestimmen f(x)=x^3-x

Question

ich stehe kurz vor meiner Mathe-Klausur und versuche ein paar Aufgaben als Übung zu berechen, aber ich komme nicht wirklich mit dem Krümmungsverhalten zurecht. Meine Aufgabe lautet:

Rechnerisch das Krümmungsverhalten vom Graphen von f berechnen.

f(x)=x^3-x

So ich hab jetzt die Ableitungen berechnet:

f'(x)=3x^2

f''(x)=6x

f'''(x)=6

Nun kommt die notwendige Bedingung f''(x)=0, hab ich auch berechnet:

6x=0

x=0

hinreichende Bedingung f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0

f''(0)=6*0=6>0 also, eine links-Krümmung.

Jedoch zeigt mein Taschenrechner, dass dieser Graph von der rechtskrümmung in die linkskrümmung wechselt, das hab ich aber nicht hingekriegt. Ich würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte :)

LG Ime

Answer 1

Aloha :)

Die Krümmung kannst du mit der 2-ten Ableitung messen, es gilt:$$f''(x)>0\;\;\Leftrightarrow\;\;\text{links gekrümmt}$$$$f''(x)<0\;\;\Leftrightarrow\;\;\text{rechts gekrümmt}$$Bei \(f''(x)=0\) kann die Krümmung wechseln (dann hast du einen "Wendepunkt"), muss aber nicht.

In deinem Fall ist:$$f(x)=x^3-x$$$$f'(x)=3x^2-1$$$$f''(x)=6x$$Damit hast du 2 Fälle:

a) \(\;x<0\;\;\Rightarrow 6x<0\;\;\Rightarrow\;\;\text{rechts gekrümmt}\)

b) \(\;x>0\;\;\Rightarrow 6x>0\;\;\Rightarrow\;\;\text{links gekrümmt}\)

Damit ist auch klar, dass bei \(x=0\) ein Wendepunkt vorliegt.

~plot~ x^3-x;[[-2|2|-2|2]] ~plot~

Answer 2

Du hast ja auch nicht die Krümmung selbst berechnet, sondern den Wendepunkt. Wendepunkte sind die Punkte, wo die Krümmung wechselt.

Comments

Ja, hab ich auch gerade eben bemerkt :)

Kannst du mir bitte sagen, wie ich die Krümmung berechnen kann, bitte?

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Suche die Bereiche, in denen die zweite Ableitung durchgängig negativ bzw. durchgängig positiv ist. Ordne dann die Begriffe Linkskurve/Rechtskurve richtig zu.