Krümmungsverhalten untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von K_f.

f(x) = sin(2x) + 1; x ∈ [0;3]
Problem/Ansatz:

f(x) = sin(2x) +1

f '(x) = 2cos(2x)

f ''(x) = -4sin(2x)

Ich weiß, wie ich abzuleiten habe, nur weiß ich nicht, was ich damit anfangen soll.
Ich hab mir ein Schaubild gezeichnet und bin zu Folgendem gekommen, dass π/4 und 3/4*π Wendepunkte sind.

Das Schaubild verläuft von 0 ≤ x < π/4 konvex

und von π/4 < x < 3/4* π konkav.

und von 3/4* π < x <= 3 konvex

Stimmt mein Ansatz? Und wie löse ich das mathematisch von der zweiten Ableitung aus, ohne dass ich ein Schaubild skizzieren muss?

Comments

https://www.mathebibel.de/kruemmungsverhalten

Answer 1

Die Wendestellen im genannten Intervall sind bei x = 0 und x = pi / 2.

Also dort, wo f ''(x) = 0.

Answer 2

Ist \( f''(x) >0 \), so ist der Graph linksgekrümmt. Ist \( f''(x) < 0 \), so ist der Graph rechtsgekrümmt. Das Krümmungsverhalten kann sich nur ändern, wenn \( f''(x) =0 \) gilt. Das ist bei Wendepunkten der Fall.

Answer 3

Aloha :)

Über das Krümmungsverhalten einer Funktion \(f(x)\) gibt das Vorzeichen der zweiten Ableitung Auskunft.

\(f''(x)>0\implies \) Der Graph ist an der Stelle \(x\) links-gekrümmt (konvex).

\(f''(x)<0\implies \) Der Graph ist an der Stelle \(x\) rechts-gekrümmt (konkav).

Die zweite Ableitung hast du korrekt bestimmt:$$f''(x)=-4\sin(2x)$$

Sie ist positiv für \(x\in\left(n\pi-\frac\pi2\big|n\pi\right)\) mit \(n\in\mathbb Z\quad\implies f(x)\) ist konvex.

Sie ist negativ für \(x\in\left(n\pi\big|n\pi+\frac\pi2\right)\) mit \(n\in\mathbb Z\!\!\quad\implies f(x)\) ist konkav.