bestimmen von sehne und Radius. beweise, dass dann gilt: |AP | · |AQ| = 2 · r2

Question

AB und CD seien zwei Durchmesser des Kreises k(M,r), die einen Winkel von 90◦ einschließen. Eine Sehne AQ schneidet CD in P. (Siehe Abbildung 3)
Man beweise, dass dann gilt:

|AP | · |AQ| = 2 · r2 

Comments

EDIT: Ist das nun eine Frage, die noch nicht gestellt wurde?

Welche Abbildung 3?

Answer 1

Hallo JF,

in den Sonderfällen  Q=B (P=M)  und Q=C (P=C)  trfft die Behauptung - im ersten Fall offensichtlich, im zweiten Fall nach Pythagoras - zu. Es wäre deshalb eher überraschend, wenn das "zwischendurch" anders wäre :-) :

Thalessatz →  ΔABQ  ist rechtwinklig.  (für Q≠B,C)

Die Dreiecke ABQ  und AMP sind also ähnlich (zwei gleiche Winkel).

Entsprechende Seiten (maßgleichen Winkeln gegenüberliegend)  stehen also im gleichen Verhältnis.

→  r / AP = AQ / (2r)       | * AP  | * 2r

→  2 * r^2  = AP * AQ  

Gruß Wolfgang