Quadratische Aufgabe in 6 Schritten. Aus einem dreieckigen Brett…

Question

Aus einem dreieckigen Brett der nebenstehenden gezeignten Forum (Ein Dreieck mit den Maßen 60 cm x 40 cm) soll eine möglichst große rechteckige Platte geschnitten werden. 

Welchen Fächeninhalt hat diese? 
Verwenden Sie bei ihrer Lösung bitte die 6-Schritte-Methode" 

Ich habe folgendes bis jetzt gemacht. Sollte ich bitte fehler haben korrigert mich. Hoffe sehr auf eure hilfe so schnell wie möglich. 

erste schritt die Zeichnung.

schritt 2) term zur berechnung dieser größe angeben (dreieck) und variabeln festlegen 

A= a*b*c <-- stimmt das so ? bin mir etwas unsicher

schritt 3) Ziel ist eine angabe eines quadratischen terms für den dreieck die nur noch von einer variablen anhängt. <-- brauche hier vor allem hilfe... 

 so vlt: a= ( h-b)/h= 40 (60-b)/60= 2400+40b / 60

2400/60 - 40b/60= 40-2/3b

 

Schritt 4) Definition menge

0=-2/3 b^2+40b-A(b) (-3/2) = b30

schritt 5 und 6 wären 

5) Funktionsvorschrift einer quadratischen funktion und 6) interperatation sw koordinaten des Scheitelpunktes. (ich soll übrerprüfen ob die erste koordinate des scheitelpunktes innerhalb der in schritt 4 festgelegten grenzen für die gewählte Variable liegt) 

 Ich komm komplett nicht weiter weil ich mir schon allein hier nicht sicher fühle ob ich bis 4 auch alles richtig gemacht habe oder nicht .. 

 Hoffe mir kann jemand helfen.

Comments

Ich finde deine Skizzen gut.
Es geht um das Problem : was ist
das größte Rechteck
- linke Skizze
oder
- mittlere Skizze.

Vielleicht beschäftige ich mich nachher
damit.
mfg Georg

Answer 1

Ich rechne zunächst den linken Fall
und positioniere das Dreieck in
einem Koordinatensystem.
Die Seiten des innenliegenden
Rechtecks sind parallel zu den
Koordinatenachsen.
Die Lösung erfolgt über eine
Extremwertberechnung.

Comments

Deine mittlere Skizze.

Die Gesamtfläche sind die Flächen ( 1 + 2 + 3 + 4 ).
Gesucht ist Fläche Nr 2. Und davon die größtmögliche
Fläche.

Gesamtfläche : 0.4 * 0.6 / 2 = 0.12 m^2
Ich führe einen Verkleinerungsfaktor f ein, zwischen
0 und 1, mit dem ich die Fläche 4 erzeuge.
F4 = ( 0.6 * f ) * ( 0.4 * f ) / 2
F4 = 0.12 * f^2 m^2

b = ( 1 - f ) * 0.6
c = ( 1- f ) * 0.4

Die Flächen 1 und 3 lassen sich ( nach Wegfall
von 2 ) passend zusammenschieben.
( Skizze Nr 2 ). Der Flächeninhalt ist
F1 + F3 =  b * c / 2 = ( 1 - f ) * 0.6 * ( 1- f ) * 0.4 / 2
F1 + F3 = ( 1 - f ) * 0.12

Die gesuchte Fläche 2 ist
F2 = Gesamtfläche - ( F1 + F3 + F4 )
F2 = 0.12 - [ ( 1 - f ) * 0.12 + 0.12 * f^2 ]
F2 ( f ) = 0.12 - 0.12 ( 1- f + f^2 )
F2 ( f ) = 0.12 * [ 1 - ( 1+ f - f^2  ]
F2 ( f ) = 0.12 * [ 1 - 1 -  f + f^2  ]
F2 ( f ) = 0.12 * ( f^2  - f )
Extremwert
F2 ´( f ) = 0.12 * ( 2*f - 1 )
0.12 * ( 2*f - 1 ) = 0
2 * f = 1
f = 1/2
F2 ( 1/2 ) = 0.12 * ( 1/2 )
F2 ( 1/2 ) = 0.06

Dasselbe Ergebnis wie im Fall 1.

Hoffentlich stimmt alles.
Bitte nachprüfen.
Sonst wieder melden.

Answer 2

1. Was soll maximal werden und welche Formel hat das?     (*) F=a·b

2. Skizze anlegen und beschriften (nicht besonders gelungen)

3. Ggf. Fälle unterscheiden (gelungen) und gesondert behandeln.

4. Welche Beziehungen gelten zwischen gegebenen und gesuchten größen?

    Fall 1: (40-a)/b=40/60

                (60-b)/a=60/40 beide führen auf (**) a=2/3·(60-b)

5. (**) in (*) einsetzen F(a)=2/3·(60-b)·b = 2/3·(60b-b²)

6. Nullstelle der Ableitung bestimmen.

Schritte 4 bis 6 auch für Fall 2.

Comments

Wegen meiner so genannten skizze können sie mir bitte sagen warum das nicht gelungen ist ? also was hab ich da falsch gemacht. So steht in meinem heft die 6 schritt methode. wieso ist es als 2 schritt das ich eine skitzze machen sollte nicht als erste 1

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Die Formel unter deiner Skizze passt hier nicht. Außerdem hätten sie Buchstaben der Formel auch in der Skizze stehen müssen.

Die Dreiecke in deinen Skizzen sind gleichschenklig, was nur irritiert. Die linke deiner drei Skizzen ist ein Spezialfall der rechten. Sie ist überflüssig. Die mittlere Skizze ist zu unsauber. Die Bezeichnungen der Strecken der Skizzen sind nicht vollständig.

Eure "6-Punkte-Methode" ist nicht Standard. Ich habe sie abgewandelt.

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könnten sie mir dan  nettweise vielleicht zeigen wie ich die skizze machen sollte um es besser zu verstehen ?

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Leider reichen meine Fähigkeiten nicht aus, um eine Skizze einzustellen. Deine selbst gefertigten Skizzen müssen so verändert werden:

Skizze ganz links: Überflüssig, ersatzlos streichen.

Skizze in der Mitte: Ein Rechteck hat vier rechte Winkel und zwei Paare paralleler Seiten. Das muss erkennbar werden. Außerdem müssen die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks unterschiedlich lang dargestellt werden.

Skizze rechts: Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks müssen unterschiedlich lang dargestellt werden.

Answer 3

Also, im ILS Heft bestand die Sechs-Schritte-Methode aus:

1. Die Zeichnung (Es reicht, wenn du eine hast, aber die solltest du am besten maßstabsgetreu zeichnen. Das heißt für 40cm benutzt du entweder vier Zentimeter oder vier Kästchen und für die 60cm sechs Zentimeter oder sechs Kästchen.)

2. musst du die Flächenformel für das Rechteck angeben, in diesem Fall wäre das A=a*b (aber da du in deiner Zeichnung ja auch das Dreieck beschriften musst, kann es sein, das du a und b anders benennen musst)

3. musst du das Dreieck maßstabsgetreu in ein Koordinatensystem zeichnen. Nimm den Punkt, an dem die linke Ecke deines Rechtecks die Hypotenuse berührt (z.B. P1(-20/30)) und such dir einen anderen Punkt raus (z.B. P2(-40/0)). Dann rechnest du die Steigung aus (Strahlensatz).

m=(30-0)/(-20+40)=30/20=3/2=1,5

Dann suchst dir einen von den benutzten Punkten (also P1 oder P2) aus und setzt alle gegebenen Variablen in die Lineare Funktionsformel ein um die Verschiebung auf der y-Achse auszurechnen.

y=mx+b

30=1,5*(-20)+b

30=-30+b    |+30

60=b

y=1,5x+60

Die Formel zum Ausrechnen der Fläche des Rechtecks lautet am Koordinatensystem orientiert nun A(x)=x*y.

Also setzt du jetzt y ein, dann hast du

A(x)=x*(1,5x+60)

A(x)=1,5x^2+60x

4. Definitionsbereich angeben

5. y=1,5x^2+60 mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen.

6. Aus der Scheitelpunktform

y=1,5(x+20)^2-60

kannst du jetzt x ablesen

x ist die Breite von dem maximal möglichen Rechteck.

Setz das in die Lineare Funktionsformel y=1,5x+60 ein, dann bekommst du y, also die Länge des maximal möglichen Rechtecks.

Jetzt nur noch die Fläche des Rechtecks ausrechnen.

Also A=a*b

(a=Länge), (b=Breite)

Und damit wäre dann die Aufgabe gelöst.

Ich habe in der Aufgabe 600 cm^2 rausbekommen.

Comments

Ich rechne zuerst die Schraege aus.
f ( x ) = x * - (60 / 40) + 60
f ( 0 ) = 60
f ( 40 ) = - 40 * ( 60 / 40 ) + 60 = 0

f ( x ) = x * - (60 / 40) + 60
A ( x ) = f ( x ) * x
( Strecke in x-Richtung mal Strecke in y-
Richtung )

A ( x ) = [ x * - (60 / 40) + 60 ] * x
A ( x ) = x^2  * - (60 / 40) + 60 *x
1.Ableitung bilden
A ´= 2x * -(60/40 ) + 60
Stelle mit waagerechter Tangente
= Extremwert
2x * -(60/40 ) + 60 = 0
x = 20
f ( 20 ) = 30

20 * 30 = 600

Merke : Bei diesen Aufgaben ist die
größte Fläche immer die Hälfte
der Ausdehnung n x-Richtung
und die Hälfte der Ausdehnung in
y-Richtung.