Differentialgleichungen art und Lösung

Question

Hallo miteinander,

ich habe hier die beiden Differentialgleichungen gegeben:

1)$$ u'(x)+xu(x)=x $$

2)$$ y'(t)=y(t)(1-y(t))$$

Ich bin mir leider nicht so ganz sicher wie ich hier vorgehen soll. Bei der ersten DGL würde ich  ja mit der homogenen Gleichung  \(u'(x)+xu(x)=0 \) vorerst die variablen trennen, also:

$$ \frac { 1 }{ u(x) }u'(x)=-x $$und dann weiter mit Variation der Konstanten..

Bei der zweiten DGL, vermute ich jedoch eine Bernoulli DGL..

Liege ich hier mit meiner Vermutung richtig?

Wäre nett wenn jemand helfen könnte!

Answer 1

Zu 1)

Variation der Konstanten ist möglich, einfacher zu rechnen mit Trennung der Variablen

u '(x) = x- x *u(x)

u '(x) = x (1- u(x))

du/dx = x (1- u(x))

du/(1 -u) = x dx

usw.

Zu 2)

JA , es ist eine Bernoulli DGL, das rechnet aber keiner , ist zu aufwendig.

Diese DGL  löst Du mit Trennung der Variablen.

dy/dt= y(1-y)

dy/(y(1-y))= x dx