Differenzialquotienten berechnen?

Question

 Die

ich verstehe leider die Teilaufgabe f) nicht. Die Funktion lautet f(x)=0,5x^2

Wie kann ich das herausfinden? Bitte gebt mir nicht die Antwort. Ich möchte verstehen, was ich falsch gemacht habe. Ich habe meine Gedanken auch aufgeschrieben und mit angehängt.

Was ist bei g mit verallgemeinern gemeint?

Answer 1

f(x) = 0.5x^2

(f(x) - f(1)) / (x - 1)
(0.5x^2 - 0.5) / (x - 1) = 0.5x + 0.5
0.5x^2 - 0.5x
--------------------
0.5x - 0.5
0.5x - 0.5
--------------------
0

lim (x --> 1) (0.5x + 0.5) = 1

Comments

Ich könnte Ihnen bis zum 2. Schritt folgen. Was haben Sie im 3. Schritt / in den weiteren Schritten gemacht?

---

Das ist eine Polynomdivision. Die kannst du dir unter

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

vorrechnen lassen.

--------------------------------------------------

Wie bei der schriftlichen Division von Zahlen zieht man auch bei der Polynomdivision vom Dividenden nach und nach passende Vielfache des Divisors ab, bis am Ende möglichst kein Rest mehr bleibt. Dazu wird in jedem Schritt derjenige Summand des Restes eliminiert, bei dem x in der höchsten Potenz steht.

Die Summanden des Quotienten erhält man daher durch Division dieses Summanden der jeweiligen Reste durch den Summanden des Divisors mit der höchsten Potenz von x.

In diesem Beispiel ist das x.

Betrachte den Dividenden 1/2x^2 - 1/2 als ersten "Rest".

Der Summand dieses Restes mit der höchsten Potenz von x ist 1/2x^2.

Da 1/2x^2/x = 1/2x, ist der erste Summand des Quotienten 1/2x.

Berechne 1/2x·(x - 1) = 1/2x^2 - 1/2x

und subtrahiere dies vom letzten Rest.

-> neuer Rest: 1/2x - 1/2

Der Summand dieses Restes mit der höchsten Potenz von x ist 1/2x.

Da 1/2x/x = 1/2, ist der nächste Summand des Quotienten 1/2.

Berechne 1/2·(x - 1) = 1/2x - 1/2

und subtrahiere dies vom letzten Rest.

-> neuer Rest: 0

Kein Rest -> Abbruch

Es ergibt sich somit das folgende Ergebnis der Polynomdivision:

1/2x + 1/2

Answer 2

Du scheinst alles richtig gemacht zu haben, es fehlt nur noch der letzte Schritt, den Limes anwenden.

Answer 3

es wurde die binomische Formel verwendet und gekürzt.

$$ \frac { 0.5x^2-0.5 }{ x-1 }\\=0.5\frac { x^2-1 }{ x-1 }\\=0.5\frac { (x+1)(x-1) }{ x-1 }\\=0.5\frac { (x+1) }{ 1 }\\=0.5(x+1) $$

Jetzt noch x=1 einsetzen und fertig.

g) hier sollst die Ableitung det Funktion an einer beliebigen Stelle a betrachten:

$$  f'(a)=\lim_{x\to a}\frac { f(x)-f(a) }{ x-a }\\=0.5\lim_{x\to a}\frac { x^2-a^2 }{ x-a }\\=0.5\lim_{x\to a}\frac { (x+a)(x-a)}{ x-a }\\==0.5\lim_{x\to a}\frac { (x+a)}{ 1}\\=0.5\lim_{x\to a} (x+a)=0.5(a+a)=a $$