Mit welchem (r, h) erhält man eine zylindrische Blechtasse (1 L) mit dem geringsten Materialaufwand?

Question

mich würde interessieren, auf welche Arten und Weisen man diese Aufgabe angehen kann. Zunächst die wohl einfachste:
Volumen = Grundfläche * Höhe = pi*r^2 * h = 1 Liter
Wir formen nach h um:
h = 1 Liter/(pi*r^2)
Oberfläche = 2*pi*r*h + pi*r^2
... wir setzen für h ein, was wir oben haben:
O(r) = 2*pi*r* (1 Liter/(pi*r^2)) + pi*r^2 = 2 Liter/r + pi*r^2
Jetzt haben wir also eine Funktion O, die vom Radius r abhängt und müssen nur noch den Tiefpunkt der Funktion berechnen. Die Ableitung muss dort 0 sein, da wir bei einem Tiefpunkt ja keine Steigung haben:
O'(r) = 0 = 2L*ln(r) + 2*r*pi
Umgestellt nach r:
... tja, hier komme ich nun nicht weiter. Die e-Funktion kann ich als Ansatz wohl von Vornherein ausschließen, da ich sonst meine Dimension im Exponenten habe, was nicht geht, oder?
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Ansonsten: Geht es theoretisch mit dem Nabla-Operator? Ich hätte da ∇*V = r*pi * (2h, r) heraus
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Ansonsten wäre der Ansatz wohl der Lagrange-Multiplikator?
... ich würde mich sehr über Hilfe freuen!
LG

Answer 1

Hallo JE,

>  O'(r) = 0 = 2L* ln(r) + 2*r*pi 

Du hast statt des Ableitungsterms  den Stammfunktionsterm  von 1/r benutzt. Sonst wird es einfacher :-) 

Gruß Wolfgang

Comments

Oh nein, tatsächlich ! Hatte in letzter Zeit einfach viel mehr mit Integralen zu tun.... Danke.

Answer 2

O ( r ) = 2 * pi * r * (1 Liter/(pi*r²)) + pi * r²

nehmen wir einmal an bis hierhin ist es
fast richtig. Die Einheit Liter muß allerdings raus.

O ( r ) = 2 * pi * r * 1 / (pi*r²) + pi*r² | kürzen
O ( r ) = 2 / r + pi * r²

O ´ ( r ) = -2 / r^2 + 2 * pi * r
Extrempunkt
-2 / r^2 + 2 *pi * r = 0   | * r^2
-2  + 2 * pi * r^3 = 0 | : 2
-1 + pi * r^3 = 0
r^3 = 1 / pi
r = ³ √ ( 1 / pi )
r = 0.683 dm = 6.83 cm
bei h  habe ich auch 6.83 cm heraus.

Bei Bedarf nachprüfen.