Bestimmen eines Teilstücks einer Straße

Question

Ich brauche hier 4 Bedingungen, aber ich weiß nicht wie ich andere außer die beiden Punkte rausbekomme. Wir hatten da irgendwas mit der Steigung in den Punkten, ich weiß aber nicht wie ich die rausbekomme.

 

In einer Siedlung sollen zwei Stichstraßen miteinander verbunden werden, um dazwischen einen Supermarkt zu bauen. Bestimemn Sie eine ganzrationale Funktion f, die den Straßenverlauf des Übergangsbogens zwischen beiden Straßen beschreibt. Vergleichen und bewerten Sie verschiedene Lösungen.

Answer 1

f(1) = 2 --> a + b + c + d = 2

f'(1) = 3/4 --> 3·a + 2·b + c = 3/4

f(3) = 4 --> 27·a + 9·b + 3·c + d = 4

f'(3) = 0 --> 27·a + 6·b + c = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte

f(x) = -0,3125·x^3 + 1,6875·x^2 - 1,6875·x + 2,3125

Hier eine Skizze mit meinen 2 Lösungsvorschlägen. Zum einen mit Krümmungssprung und einmal ohne Krümmungssprung.

Comments

Hier eine möglichkeit wo die Verbindung noch Krümmungssprungfrei ist

f(1) = 2 --> a + b + c + d + e + f = 2

f'(1) = 3/4 --> 5a + 4b + 3c + 2d + e = 0,75

f''(1) = 0 --> 20a + 12b + 6c + 2d = 0

f(3) = 4 --> 243a + 81b + 27c + 9d + 3e + f = 4

f'(3) = 0 --> 405a + 108b + 27c + 6d + e = 0

f''(3) = 0 --> 540a + 108b + 18c + 2d = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte

f(x) = 15/64·x^5 - 147/64·x^4 + 263/32·x^3 - 423/32·x^2 + 675/64·x - 95/64

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Wie kommst du auf die Steigung 3/4? Hast du sie rausgemessen oder eine Geradengleichung aufgestellt, bei der du einen Punkt messen musstest?

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Ich habe die Steigung durch die Punkte P(-3|-1) und Q(1|2) genommen. Also zwei Punkte zwischen den die Straße geradlinig verläuft.

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Danke erstmal auf jeden Fall.

Ist das auch möglich mit einer Funktion 3. Grades, also ohne die vermeintlichen Wendeounkte (?) und nur mit den Punkten und der jeweiligen Steigung. Allerdings verstehe ich auch nicht ganz wo die Steigung in 1 herkommt. Das ist ja mein Problem beim Lösen der Aufgabe.

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Danke, aber klar erkennen kann man den Punkt (-3/-1) mMn nicht.

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aber klar erkennen kann man den Punkt (-3/-1) mMn nicht. 

Doch. Das eingezeichnete Koordinatengitter kannst du als verlässlich anschauen. Dann ein Steigungsdreieck einzeichnen und Höhenunterschied 3 durch Horizontaldistanz 4 rechnen.

Wobei es eine vernünftige Annahme ist, dass ein Bogen keinen Knick aufweisen sollte. Das ist nicht so schön skizziert. 

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"Ist das auch möglich mit einer Funktion 3. Grades, also ohne die vermeintlichen Wendeounkte (?)"

Das habe ich doch in der ersten Antwort gemacht. Hast du die überlesen?

Answer 2

Die Aussagen sind

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´ ( x ) = 3 * a * x^2 + 2 *b * x + c

f ( 1 ) = 2
f ( 3 ) = 4
f ´( 3 ) = 0 

Mit der 4 Aussage tue ich mich schwer weil diese
nicht angegeben und der Steigung der linken
Stichstraße entspricht.
f ´( 1) = ?

Comments

Nehmen wir einmal
( -3 | -1 )
und
( 1 | 2 )
als Punkte auf der linken Straße dann ist
m der Straße = ( -1 - 2 ) / ( -3 -1 ) = 3 / 4

f ( 1 ) = 2
f ( 3 ) = 4
f ´( 3 ) = 0 
f ´( 1) = 0.75

Bin gern weiter behilflich.

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P(-3/-1) ist nicht klar erkennbar, oder?

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ehlenwertel Flemdling.
Für mich ist del Punkt ( -3 | -1 ) auch nicht
klal elkennbal. Del Schulbuchherstellel hätte
die Glafik nach links und unten elweiteln sollen.

Hinweis ( -3 / -1 )
Der Kommandostrich kann auf der Tastatur mit
( ALT)  und der Taste ( < > ) erzeugt werden

( -3 | -1 )

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@Fragesteller
Vergleichen und bewerten Sie verschiedene
Lösungen.

1.Lösung
Die Anschlußpunkte stimmen überein
f ( 1 ) = 2
f ( 3 ) = 4

2.Lösung
1. Lösung plus die Steigung stimmt überein
f ´( 3 ) = 0 
f ´( 1) = 0.75

3.Lösung
1. und 2.Lösung und die Kümmung stimmt
überein
f ´´( 3 ) = 0 
f ´´( 1) = 0

Gern gebe ich dir noch einen Link
für einen sogenannten Steckbriefrechner.
Damit kann die Lösung ruck/zuck
berechnet werden.

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Mit welcher Begründung könnt ihr den Punkt (1|2) ablesen? Woher wusstet ihr das nicht (0.999|2.001) gemeint war?

Mit der gleichen Rechtfertigung kann man wohl auch den Punkt (-3|-1) ablesen.

Fakt ist ja das man die Steigung der Geraden braucht, wenn man eine knickfreie Kurve anschließen möchte. Und um die Steigung einer Geraden zu bestimmen schnappt man sich zwei Punkte die man ablesen kann. Was liegt daher näher die von mir genannten Punkte zu nehmen.

Eben weil es anders auch nicht möglich ist und man daher annehmen darf das genau diese beiden Punkte gemeint sind.

Man könnte natürlich auch mit (0.999|2.001) rechnen, wenn einem das besser gefällt. Näherungsweise dürfte die gleiche Funktion dabei herauskommen.

Ich habe mir erlaubt, die Spammarkierung zu entfernen weil ich die Nachfrage durchaus für gerechtfertigt halte wie man darauf kommt, das genau der Punkt (-3 | -1) genommen wird.

Ich habe mir außerdem erlaubt, Themen irrelevante Kommentare auszublenden. Das könnt ihr ja gerne über E-Mail fortführen.

Zu guter letzt möchte ich noch den Link zum Steckbriefrechner nachreichen, mit dem man solche Aufgaben blitzschnell zur Kontrolle lösen kann.

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

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Wie ich in meiner ersten Antwort schrieb fand
ich den Punkt ( -3 | -1 ) als nicht so eindeutig
erkennbar.
Ich betrachte die Sache aber als mittlerweile
geklärt.
Das im Forum manche Themen wie Kant, Gott
und die Welt usw ausführlichst diskutiert
wurden hat es auch schon gegeben.
Eine Löschung von Texten war daher nicht
notwendig.
Wenn ich ab und zu mal eine heitere Anekdote
mit einer Antwort verbinde ist das doch
sicherlich nicht schlimm.
Der Forumsbetreiber freut sich doch
sicherlich wenn hier etwas los ist.