Teil 1:
a) Sei \( (a_{n}) \) eine Nullfolge mit \( a _ { n } \geq 0 \) für alle \( n \in \mathbb { N } \). Zeigen Sie, dass auch \( \left( \sqrt { a _ { n } } \right) \) eine Nullfolge ist.
b) Sei \( (a_{n}) \) eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen, die gegen a konvergiert. Zeigen Sie, dass a ≥ 0 und dass die Folge \( \left( \sqrt { a _ { n } } \right) \) gegen \( \sqrt{a} \) konvergiert.
Teil 2:
a) Sei \( a _ { n } : = n ^ { \frac { 1 } { 2 n } } \) und sei b_{n} definiert durch \( a _ { n } = 1 + b _ { n } \). Zeigen Sie mit der Bernoullischen Ungleichung, dass \( \sqrt { n } \geq 1 + n \cdot b _ { n } \).
b) Folgern Sie aus (a), dass \( \left( b _ { n } \right) \) eine Nullfolge ist.
c) Folgern Sie aus (b), dass \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt [ n ] { n } = 1 \).
Für die ersten beiden Aufgaben habe ich folgenden Ansatz:
$$\left( \sqrt { a } _ { n } - \sqrt { a } \right) \cdot \sqrt { a } _ { n } + \sqrt { a } = a _ { n } - a \\ \Rightarrow \sqrt { a } _ { n } - \sqrt { a } = \sqrt { a } _ { n } - \sqrt { a } \cdot \frac { \sqrt { a } _ { n } + \sqrt { a } } { \sqrt { a } _ { n } + \sqrt { a } } = \frac { a _ { n } - a } { \sqrt { a } _ { n } + \sqrt { a } } $$
Ab hier bräuchte ich einen Denkanstoß.
Diese Aufgabe findet sie sich im Aufgabenblatt von Prof. Dr. Singhof, Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~lessmann/analysis1/analysis_blatt03.pdf
