Aussagen über Nullfolgen zeigen. Bsp. a) Es gilt lim j→∞ a_j = a genau dann, wenn (a_j − a)_(j∈N) eine Nullfolge ist

Question

ich bräuchte Eure Hilfe bezüglich Aufgaben zu Nullfolgen.

Die Aufgaben sehen wiefolgt aus:

Es seien (a_j)_j∈N,(b_j)_j∈N ⊂ K Folgen und a ∈ K. Beweisen Sie folgende Aussagen über Nullfolgen:

(a) Es gilt lim j→∞ a_j = a genau dann, wenn (a_j − a)_j∈N eine Nullfolge ist

(b) Gilt a_j − a ≤ b_j für alle j ≥ j₀ ∈ N und eine Nullfolge (b_j)_{j∈N ,} so gilt lim j→∞ a_j = a

(c) Ist (a_j)_j∈N beschränkt und (b_j)_j∈N eine Nullfolge, so ist (a_jb_j)_j∈N eine Nullfolge

Ich wäre Euch dankbar wenn ich mir helfen könntet :)

LG

Comments

(a) lässt sich unmittelbar aus der Definition von Konvergenz folgern

(b) ist falsch so wie es da steht, also lieber noch einmal überprüfen, ob richtig abgetippt wurde.

(c) anhand der Definition von Konvergenz konkret nachweisen

Answer 1

Es gilt lim j→∞ a_j = a genau dann, wenn (a_j − a)_j∈N eine Nullfolge ist:



         lim j→∞ a_j = a               (Def. anwenden)

⇔  Zu jedem eps>0 gibt es N mit n>N ⇒ | a_j − a | < eps 


⇔  Zu jedem eps>0 gibt es N mit n>N ⇒ | (a_j − a)  -  0   | < eps 

⇔    (a_j − a)_j∈N   ist  eine Nullfolge.     ( Nullfolge ist Folge mit GW 0. )



Ich meine b) stimmt, wenn du den Betrag ergänzt.

Sei also  |a_j − a | ≤| b_j | für alle j ≥ j₀ ∈ N
               und  (b_j)_{j∈N ,} ist eine Nullfolge .

Dann gibt es ein N mit  j≥N ⇒ | bj | < eps ....... und damit weiter