Ebene schneidet, berührt oder verfehlt Kugel

Question

Ich komme bei meiner HA in Mathe nicht weiter.

Die Aufg. sagt mir ich soll prüfen, ob die Ebene E die Kugel K schneidet, berührt oder verfehlt. Da unser Lehrer das meiner Ansicht nach immer bloß so schnell durchkloppt und nicht explizit erklärt, weiß ich nun nicht was ich zu tun habe.

Wär bitte jmd. so nett mir ganz Allg. für so einen Aufg.-Typ eine Schrittfolge aufzulisten: 1., 2., 3., usw.

Das wäre nett, danke!

Folgende Gleichungen sind gegeben:

E: 2x -4y +4z =38

K: (x-3)² +(y-3)² +(z-2)² =36

Answer 1

E: 2x -4y +4z =38

K: (x-3)² +(y-3)² +(z-2)² =36

0. Skizze

1. Mittelpunkt M von K bestimmen. M(3|3|2)

2. Radius r von K bestimmen. r = 6

3. HNF (Hessesche Normalform) von E bestimmen. https://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform#Hessesche_Normalform_einer_Ebenengleichung Rechnen wie im Beispiel hier (Ebenengleichung, Koordinatenform gegeben) https://www.mathebibel.de/hessesche-normalform

4. In der HNF von E den Punkt m einsetzen. ---> d

5. |d| mit r vergleichen.

Fallunterscheidung:

Falls |d| = r: E berührt K.

Falls |d| > r: E und K haben keine gemeinsamen Punkte

Falls |d| < r: E und K schneiden sich.

Zusatzaufgabe: "ähnliche Fragen" ansehen. Dort gibt es auch weitere (längere aber anschaulichere) Lösungswege für diese Aufgabe.

Skizze zum Lösungsweg (2D-Schnitt)

Answer 2

Die Antwort von Lu bitte sorgfälltig lesen und verstehen. Hier nur noch ein kurzer Hinweis.

Die Koordinatenform kann auch in die hessische Koordinatenform (Name so von mir erfunden) gebracht werden um den Abstand zu bestimmen.

2x - 4y + 4z =38

d = |2x - 4y + 4z - 38| / √(2² + 4² + 4²)

Hier jetzt den abgelesenen Kugelmittelpunkt einsetzen

d = |2*3 - 4*3 + 4*2 - 38| / √(2² + 4² + 4²) = 6

Da dieses dem Radius der Kugel entspricht, berührt die Ebene die Kugel tangential.