Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt M, welche die Ebene berührt?

Question

Wie heißt die Gleichung der Kugel mit dem Mittelpunkt M, welche die Ebene E berührt?

a) M(6|5|-3), E: x - 2y + 2z + 4 = 0

b) M(-4|30|-5), E: 5x - 14y + 2z = 0

c) M(-2|-7|11), \( E: \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 3 } \\ { - 2 } \end{array} \right) + u \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 2 } \\ { 0 } \end{array} \right) + v \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 4 } \\ { 5 } \end{array} \right) \)

Answer 1

Du brauchst nur den Abstand von M zur Ebene bilden. Das ist dein Radius. Dann stellst du die Kugelgleichung um M mit dem Radius r auf.

Wenn wir eine Ebenengleichung haben

E: ax + by + cz + d = 0

dann bestimmt sich der Abstand über die Formel

Abstand = (ax + by + cz + d) / √(a^2 + b^2 + c^2)

Nun zu der ersten Aufgabe:

E: x - 2y + 2z + 4 = 0

Das wandelt man um in die Abstandsformel

d = (x - 2y + 2z + 4) / √(1^2 + 2^2 + 2^2)

Hier musst du dann nur den Punkt M einsetzen

d = (6 - 2·5 + 2·(-3) + 4)/√(1^2 + 2^2 + 2^2) = -2

Das ist also der Abstand vom Punkt zur Ebene. Der Radius der Kugel ist also 2.

Comments

Das hat mir sehr weiter geholfen.

Ich hätte nur noch eine Frage und zwar wie bringe ich bei c die Ebene zu einer Gleichung wie sie bei a und b steht?

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Du wandelst die Parameterform in die Koordinatenform um. Wie das geschieht, habe ich z.B. unter

https://www.mathelounge.de/25925/hohe-der-pyramide-berechnen-und-den-winkel

gerade geschrieben. War die Aufgabe auch von dir?

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dort hab ich aber doch gar keine solche Gleichung, sondern einfach Punkte..

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Bei c) hast du einen Punkt und zwei Richtungsvektoren. Daraus macht man die Koordinatenform

[1, -2, 0] ⨯ [3, 4, 5] = -5 * [2, 1, -2]

[x, y, z] * [2, 1, -2] = [1, -3, -2] * [2, 1, -2]
2·x + y - 2·z = 3

Dann hast du die Koordinatenform.