Welche Gleichung hat die grösste Kugel, welche die Ebene und die Kugel von innen berührt?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene E: 2x-y-2z+11=0 und die Kugel K:(x+1)^2+(y+8)^2+(z-4)^2=81, sowie die Gerade, welche durch den Punkt (-1,1,4) geht und parallel zur y-Achse ist.

Welche Gleichung hat die grösste Kugel, welche die Ebene und die Kugel von innen berührt?

Comments

... sowie die Gerade, welche durch den Punkt (-1,1,4) geht und parallel zur y-Achse ist

spielt die Gerade bei der Aufgabe irgendeine Rolle?

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Ich glaube nicht.

Answer 1

Gerade g durch den Kugelmittelpunkt senkrecht zu E

g: X = [-1, -8, 4] + r·[2, -1, -2] = [2·r - 1, -r - 8, 4 - 2·r]

Schnitt von g und E

2·(2·r - 1) - (-r - 8) - 2·(4 - 2·r) = -11 → r = -1

Schnitt von g und K

((2·r - 1) + 1)^2 + ((-r - 8) + 8)^2 + ((4 - 2·r) - 4)^2 = 9^2 → r = -3 ∨ r = 3

Mittelpunkt der Kugel bei r = 1

X = [-1, -8, 4] + 1·[2, -1, -2] = [1, -9, 2]

Radius der Kugel

2·|[2, -1, -2]| = 6

Kugelgleichung

Kmax: (x - 1)^2 + (y + 9)^2 + (z - 2)^2 = 6^2

Skizze

Answer 2

Die Kugel hat den Mittelpunkt M(-1|-8|4). Die Gerade g:  \( \begin{pmatrix} -1\\-8\\4 \end{pmatrix} \)+r·\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)  steht senkrecht auf der Ebene und geht durch M. Der Schnittpunkt von g und E ist Berührpunkt B der gesuchten Kugel. g scheidet die Kugel in S. BS ist der Durchmesser der gesuchten Kugel.

Comments

(1.) Ich denke, dass man zuerst prüfen sollte, ob die Ebene die gegebene Kugel schneidet. Dies ist eine notwendige Voraussetzung für die Existenz einer Lösung der Aufgabe.

(2.) Die Normale g schneidet die Kugel natürlich in zwei Punkten. Derjenige davon, der von M weiter entfernt ist, ist Berührungspunkt der beiden Kugeln. Der Mittelpunkt zwischen ihm und M ist Mittelpunkt der gesuchten Kugel.

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Die Gerade g ist nicht senkrecht zur Ebene, oder?

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Ich beziehe mich auf die

Gerade g durch den Kugelmittelpunkt senkrecht zu E

und nicht auf eine (in der Aufgabenstellung zwar erwähnte, aber nicht definierte Gerade.

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Ich beziehe mich auf die
Gerade g durch den Kugelmittelpunkt senkrecht zu E
und nicht auf eine (in der Aufgabenstellung zwar erwähnte, aber nicht definierte Gerade.

Senkrecht zur Ebene E steht der Normalenvektor von E. Ich sehe nicht, dass du den oder ein Vielfaches davon als Richtungsvektor der Geraden g benutzt hast.

Und die Gerade, die in der Aufgabenstellung erwähnt wird, wird definiert, spielt aber für die Frage nach der größten Kugel keine Rolle.

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Ich sehe nicht, dass du den oder ein Vielfaches davon als Richtungsvektor der Geraden g benutzt hast.

Rechnungen habe ich ja überhaupt nicht angegeben, sondern nur zwei kleine Ideen, nämlich die, dass man zuerst die generelle Lage abklären und dann entscheiden muss, auf welcher Seite der gegebenen Ebene die (größtmögliche) Kugel liegen wird.

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Sorry. Ich bezog mich auf die Verkehrte Angabe von Roland.

Rolands Gerade g ist nicht senkrecht zu E.