Ursprungsgeraden, Nachweis, dass die Tangente t an den Graphen von f bei x1= -1 eine Ursprungsgerade ist.

Question

Zeigen Sie, dass die Tangente t an den Graphen von f bei x1= -1 eine Ursprungsgerade ist.

gegeben: f(x)= (x-1)*e^{-0.5x} und t(x)= 0,6065*x - 0,606

Mir fehlt ein Ansatz. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

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 t(x)= 0,6065*x - 0,606

t(-1)= 0,6065*x - 0,606

t(-1)≠ 0

=> keine Ursprungsgerade (?)

Answer 1

Tangentengleichung aufstellen und prüfen, ob die Tangente durch (0 | 0) verläuft.

Comments

 t(x)= 0,6065*x - 0,606 

t(-1)= 0,6065*(-1) - 0,606

t(-1)≠ 0 

=> keine Ursprungsgerade (?)

Edit: habe es ausversehen oben geschrieben

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Du brauchst die Tangentenglechung, die durch (-1 | f(-1)) verläuft.

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also die erste Ableitung von f(x) bilden und -1 einsetzen?

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Ja, so, wie Du es (vermutlich) auch in der Aufgabe zuvor gemacht hast.
m = f ' (-1).
y = f(-1), x = -1.
y = mx+b ⇒ b

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wenn ich -1 in f'(x) einsetze, erhalte ich für m= 2,718,, y=-3,297,

-3,297= 2,718*x+ b / -2,718

b= 1,21

y= 2,718*x+1,21

?

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f ' hast Du ja schon in der Aufgabe davor berechnet, jetzt nur -1 einsetzen:
f ' (-1) = 3.297 (gerundet)

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ja, dann komme ich auf die obrige funktionsgleichung

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y = -3,297, m = 3,297, x = -1

y = mx + b
-3,297 = 3,297*(-1) + b
-3,297 = -3,297 + b
b = 0
Die Tangentengleichung ist also y = -3,297x und wegen b = 0 verläuft sie durch den Ursprung, ist also eine Ursprungsgerade.

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Ah, ok. Ich hatte einen Fehler beim Eintippen..

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Na-gut! :-)                           

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noch eine letzte Frage: an welcher weiteren stelle x2 ist die tangente t an f ebenfalls eine ursprungsgerade?

muss ich hier f(x)=t(x)

die beiden funktionen gleichsetzen

und schauen, ob beide denselben Anstieg haben?

b muss ja bei beiden 0 sein

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kann mir jemand hier noch bitte weiterhelfen?

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muss ich hier f(x)=t(x)...
Der Ansatz f(x) = t(x) ist gut.

b muss ja bei beiden 0 sein
Bei beiden? in f(x) kommt kein b vor.

Setze f(x) = t(x), mit t(x) = mx (wegen b=0)
Setze m = f ' (x), das gibt
f(x) = f ' (x)·x und löse nach x auf.

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(x-1)*e^{-0,5x}= 0,6065*x - 0,606  / -(x+1)

e^{-0,5x}= 0,6065*x - 0,606  - (x+1)

wie gehe ich weiter vor?

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Nono, t(x) = 0,6065*x - 0,606 ist doch die Tangentengleichung aus einer anderen Aufgabe, das passt so nicht!

f(x) = (x-1)e^-0.5x

f ' (x) = e^-0.5x (-0.5x+1,5)
t(x) = mx = f ' (x)·x = e^-0.5x (-0.5x+1,5)·x

f(x) = t(x)
(x-1)e^-0.5x = e^-0.5x (-0.5x+1,5)·x

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Ich weiß aber nicht, wie ich diese Gleichung äquivalent umformen soll...

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So, dass x rauskommt, also nach x auflösen.
Die Frage ist doch: "an welcher weiteren stelle x2 ist die tangente t an f ebenfalls eine ursprungsgerade?"

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Die müsste irgendwo zwischen 1,5-2 liegen.

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Erstmal würde ich beide Seiten durch e^-0.5x dividieren.

(x-1)e^-0.5x = e^-0.5x (-0.5x+1,5)·x      | : e^-0.5x

(x-1) = (-0.5x+1,5)·x  

Das führt zu einer quadratischen Gleichung ....

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Aber ich weiß nicht, wie man die die gleichgesetzten Gleichungen oben nach der Variable x auflöst.

Edit: Ich versuche es mal.

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Die müsste irgendwo zwischen 1,5-2 liegen.

Ja, das sieht man am Graphen von f(x).

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(x-1)=(-0.5x+5) / - (x+1)

0 = (-0.5x+5) - (x+1)

0.5x^2-0.5-5x-5

0.5x^2 - 5x -5.5

Nun die pq Formel anwenden ?

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Wie kommst Du auf (x-1)=(-0.5x+5) ?
Da fehlt noch das x!

Selbst wenn 0.5x² - 5x -5.5 richtig wäre, könntest Du hier nicht die pq-Formel anwenden, denn die Normalform lautet x² + px + q = 0.
D.h. Du müsstest noch die 0.5 vor dem x^2 loswerden.

0.5x² - 5x -5.5 ließe sich mit der Mitternachtsformel lösen.

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War ein tippfehler:

(x-1)= (-0.5x+1.5)*x

(x-1) = -0.5x^2 +1.5x / -(x+1)

0= -0.5x^2+0.5x-1

0= x^2 -x + 2

So?

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Nein, das ist leider falsch. Du musst rechnen

x-1 = -0,5x^2 +1,5x  | -x  | +1

-0,5x^2+0,5x+1=0  | /-0,5

x^2-x-2=0

x_(1,2)=1/2±√(1/4+2)

x_(1)=1/2+3/2=4/2=2

x_(2)=1/2-3/2=-2/2=-1

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Daraus folgt : t1(x)= 0.184*x

x=0 ->(0/0)?

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t(x) = 0 für x = 0. Jepp.                                               

Answer 2

f(x)= (x-1)*e^-0.5x
f ´( x ) = e^-0.5x + ( x -1 ) * (-0.5) * e^-0.5x

f ´( x ) = e^-0.5x * ( 1 - 0.5 * x + 0.5 )
f ´( x ) = e^-0.5x * ( 1.5 - 0.5 * x )

f ( -1 ) = (-1-1)*e^{-0.5*-1}
f ( -1 ) = (-2)*e^{0.5}
( -1 | -2e^{0.5}  )

f ´( -1 ) = 2 e^{0.5}

Tangente
y = m * x + b
-2e^{0.5} = 2 e^{0.5} * -1 + b
-2e^{0.5} - -2e^{0.5} = b
b = 0

y = 2 e^{0.5} * x
f ( x ) = 2 e^{0.5} * x

Ursprungsgerade da
f ( 0 ) = 2 e^{0.5} * 0
( 0 | 0 )