Beweis a_n=(1/3)^n durch Induktion

Question

Es ist gegeben das x_0 = 1 , x_1= 1/3 und x_(n+1)=-x_n +4/9 * x_(n-1)

So...

IA: x_0= (1/3)^0 = 1

IV: ∃n ∈ ℕ :  (1/3)^n =x_n

So jetzt muss ich ja zeigen, dass x_(n+1)=(1/3)^{n+1} ist

Von oben weiß ich x_(n+1)=-x_n +4/9 * x_(n-1) = -(1/3)^n +4/9*(1/3)^{n-1}=…=(1/3)^{n+1} .

Ich benötige eure Hilfe bei den Umformungen, die beim … noch kommen müssten, da ich mir daran  die Zähne ausbeiße.

Answer 1

Induktionanfang:

x(n)=(1/3)^{n}

und x(n-1)=(1/3)^{n-1}

ist für n=1 erfüllt

Induktionvoraussetzung:

x(n)=(1/3)^{n}

x(n-1)=(1/3)^{n-1}

Induktionsschritt:

x(n+1)=-x(n)+4/9 x(n-1)=-(1/3)^n+4/9 *(1/3)^{n-1}

=-(1/3)^n+4/3 *(1/3)^{n}=1/3*(1/3)^n

=(1/3)^{n+1}