Sei (a_n) eine Folge mit... - Wie löst man so etwas?

Question

Problem
Ein Freund hat mich gefragt ob ich ihm dabei helfen kann, leider wusste ich ihm nicht weiter zu helfen als zu sagen dass es sich dabei um Folgen handelt, deswegen Frage ich hier. 

Aufgabe

Sei (a_n) eune Folge mit

$${ a }_{ n }=\pi +\frac { (-1)^{ n } }{ 4n } $$.

Der Grenzwert ist

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { a }_{ n }=\pi  } .$$

Wir geben die Toleranz

$$\epsilon \quad =\quad 0.008$$

vor. Welches ist das kleinste n_0 unten, ab dem diese Toleranz unterschritten wird. 

Lösung soll 32 sein. 

Idee
Für n kann ich bei 1 beginnen und unendlich weit fortfahren, dann sähe ich was die Folge macht, bzw. wie sie sich verhält, aber die Fragestellung und der Ansatz dieser Folge sind mir völlig unklar. Das wird zwar an der Uni gemacht aber ich hoffe dass ich mit irgendeinem Vorschlage evt. meinem Freund weiterhelfen kann wenn er das nachliest.

Answer 1

Interessant ist hier nur der zweite Summand, da dieser den Abstand zum Grenzwert bestimmt:

$$ \left|\frac{(-1)^n}{4n}\right| < 0,008 $$

Nach n auflösen liefert:

31,25<n, also n≥32

Gruß

Comments

Vielen Dank ich hab ihm das weitergeleitet,

Die Frage ist also bei oder ab welcher Folge der Abstand zum Grenzwert, der ja pi ist, kleiner als 0.008 ist. Hab ich das richtig verstanden?

Also ich dachte, dass er bei der Grenzwertberechnung n nach unendlich laufen lassen soll und dann der zweite Summand mit der Regel von L'Hospital berechnet werden soll weil "unendlich dividiert durch unendlich" aber wusste irgendwie, dass dabei auch nicht 32 rauskommen kann. Und der Grenzwert ja bereits gegeben ist. 

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Richtig, so verstehe ich die Frage auch.

Was du mit der Grenzwertberechnung genau meinst, erschließt sich mir allerdings noch nicht.

Man sieht ja gleich, dass

$$ \frac{(-1)^n}{4n} $$ eine Nullfolge ist? L'Hospital kann und muss hier nicht angewendet werden.

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Okay ja das hab ich so nicht gesehen, also nicht erkannt dass es eine Nullfolge ist. 

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Ich hab jetzt Blatt und Stift in die Hand genommen aber schaffe diese Ungleichung nicht zu lösen. Ich hab jetzt einfach mal diesen Fall probiert zu rechnen:

Ich habe mit dem Bruch multipliziert und komme im zweiten Schritt auf folgendes...

(-1)^{n} < 0,032n

soll ich ab hier auf beide Seiten logarythmieren oder Durch 0,032 teilen ?

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Okay,

ich skizziere dir kurz die Folge:

~plot~ pi;pi+0.008;pi-0.008;{1|pi-1/4};{2|pi+1/8};{3|pi-1/12};{4|pi+1/16};{5|pi-1/20};{6|pi+1/24};{7|pi-1/28};{8|pi+1/32};[[0|20|0.9*pi|1.1*pi]] ~plot~

Du siehst hoffentlich wie die Folge langsam gegen den Grenzwert π geht. Wir suchen nun das kleinste n, s.d. der Punkt innerhalb des Toleranzbereichs um den Grenzwert liegt, ich habe dir diesen durch die rote und grüne Geraden markiert.

Zweiter Teil folgt gleich...

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Also das kleinste n, welches die Ungleichung

$$ π-0,008\quad < \quad π+\frac { { (-1) }^{ n } }{ 4n } \quad < \quad π+0,008 $$

erfüllt. Wir subtrahieren nun mit π:

$$ -0,008\quad < \quad \frac { { (-1) }^{ n } }{ 4n } \quad < \quad 0,008 $$

Diese Ungleichung hatte ich bereits in meiner Antwort durch einen Betrag umgeformt:

$$ \left|\frac{(-1)^n}{4n}\right| < 0,008 $$

Wir wissen schon einmal 4n ist immer positiv, da n>1. Wir können den Betrag also hoch in den Zähler ziehen:

$$ \frac { \left| { (-1) }^{ n } \right|  }{ 4n } <0,008 $$

Die Potenzen von -1 sind entweder 1 oder -1, betragsmäßig also immer gleich 1, so können wir den Betrag auflösen und die Potenz verschwindet ;)

$$ \frac { 1 }{ 4n } <0,008 $$

Und das führt wie bereits oben geschildert zum Ergebnis \(32 \le n\)

Ich hoffe die Sache ist nun etwas klarer geworden.

Grüße

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Perfekt! Ich habe bei deiner Erklärung wirklich alles verstanden ! Super, echt super !

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Vielen Dank für die Mühe !