Berechnen des Flächeninhalts zwischen den Graphen f und der 1. Achse über den angegebenen Intervallen

Question

a)   f(x) = 4;                        (-1; 3),  (-2; 2)

b)   f(x) = -x² + x;                (0; 2),  (-1; 3)

c)   f(x) = x³ - x²;                 (0; 1),  (-1; 2)

d)   f(x) = x³ - 2x + 4;         (-2; 0),  (-3; 1)


Das sind die vier Aufgaben die ich nicht kann.

Answer 1

Du musst den Betrag des bestimmten Integrals der jeweiligen Funktion f ( x ) über dem jeweiligen Intervall berechnen und dabei darauf achten, ob sich innerhalb des Intervalls Nullstellen von f ( x ) befinden. Wenn ja, dann musst du das Integral aufspalten in die bestimmten Integrale von der linken Intervallgrenze bis zur ersten Nullstelle, dann von der ersten bis zur zweiten Nullstelle und so weiter und schließlich von der letzten Nullstelle bis zur rechten Intervallgrenze und dabei jeweils die Beträge (also die positiv gemachten Werte) der einzelnen bestimmten Integrale aufsummieren.

Beispiel zu b)

f ( x ) = - x ² + x , Intervall: ( 0 ; 2  )

Die Nullstellen von f ( x ) sind x1 = 0 und x2 = 1

Die Nullstelle x2 = 1 liegt innerhalb des Intervalls ( 0 ; 2 ).

Also ist der gesuchte Flächeninhalt A:

A = | ∫₀¹ ( - x ² + x ) dx | + | ∫₁² ( - x ² + x ) dx |

= | [ ( - x ³ / 3 ) + ( x ² / 2 ) ]₀¹ | + | [ ( - x ³ / 3 ) + ( x ² / 2 ) ]₁² |

= | ( - 1 / 3 ) + ( 1 / 2 ) - ( 0 + 0 ) | + | ( - 8 / 3 ) + 2 - ( ( - 1 / 3 ) + ( 1 / 2 ) ) |

= | ( 1 / 6 ) | + | ( - 2 / 3 ) - ( 1 / 6 ) |

= ( 1 / 6 ) + | - 5 / 6 |

= ( 1 / 6 ) + ( 5 / 6 )

= 1

Hilft das erst mal weiter?