Ungleichung - Ab wann soll ich logarithmieren?

Question

Aufgabe
$$\left| \frac { (-1)^{ n } }{ 4n }  \right| <0,008$$

1. Fall 

$$\frac { (-1)^{ n } }{ 4n } <0,008$$
$$(-1)^{ n }<0,032n$$

Problem
Was mache ich ab jetz, wenn ich logarithmiere komme ich nicht auf ein isoliertes n, wenn ich den ganzen Term durch 0,032 teile komme ich nicht weiter. 

Comments

Tipp: \(\vert(-1)^n\vert=1\) für alle \(n\in\mathbb N\).

Answer 1

das wird so nix.

Es ist |(-1)^n|= 1

Logarithmiert wird hiergar nicht. 

Comments

Wieso macht man hier die Betragsstriche in den Zähler ? 

Ich hatte die ganze linke Seite, also den ganzen Bruch im Betrag. 

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Weil folgende Rechenregel für den Betrag gilt:

|a/b|=|a|/|b|

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Diese Regel kannte ich so nicht, und wie ich feststelle, habe ich einen völlig falschen Ansatz gewählt. 

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Du sagst, ob 

|(-1)^{2}| = 1 
oder
|(-1)^{3}| = 1
oder
|(-1)^{4}| = 1 

Deswegen |(-1)^{n}| = 1
Der Betrag ist also immer gleich gross egal welches n man nimmt. 

Letzte Frage, wieso multipliziere ich dann nicht mit 4n und -4n ?
Ist diese Frage berechtigt oder verirre ich mich jetzt völlig ?

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Man multipliziert die Ungleichung mit 4n:

$$ \left| \frac { (-1)^{ n } }{ 4n }  \right| <0,008\\ \frac { 1 }{ 4n }  <0,008 |*4n\\1<0.008*4n $$

Der Betrag um 4n verschwindet ebenfalls, da 4n stets positiv ist (n ist ja eine natürliche Zahl)

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Perfekt ! Habs verstanden bis auf woher ich weiss, dass n eine Natürliche Zahl ist ?

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Das steht in der Aufgabe von deinem Kumpel :)!

Man sieht dass an dem kleinen Index n bei 

$$ { a }_{ n } $$

Dann ist n üblicherweise eine natürliche Zahl.

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achsooo mega gut !!!!! Vielen, vielen Dank ! Perfekt !

Stimmt a_(1) ,  a_(2), a_(3), ..., a_(n)

Danke dir viel mal !

Answer 2

Da war doch ein Betrag.

Dann hast du nur noch

1 / (4n) < 0,008

1 < 0,032n

1/0,032 < n

1000/32 < n

125/4 < n

Also 31,25 < n

Comments

Ohla sehr verständlicher Rechnungsweg, wieso aber muss ich nicht auch eine Fallunterscheidung machen ?
 Ich dachte dass ich das immer machen soll,  wenn ich einen Betrag habe. 

Answer 3

Hallo Limonade,

| (-1)ⁿ / (4n) |   <  0,008

Das Vorzeichen von (-1)ⁿ  spielt im Betrag keine Rolle:

⇔  1/(4n)  <  0,008    | * n  | : 0,008

⇔    1/ (4 * 0,008) < n

⇔  n  >  31,25    also    n ≥ 32

Gruß Wolfgang   

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Vielen Dank auch dir Wolfgang !