Extremwertsatz, Maximum, Minimum

Question

Der Extremwertsatz sagt ja, dass eine stetige Funktion f:[a,b]-> R ein Maximum und ein Minimum hat. Aber theoretisch könnten es doch mehrere Maxima und Minima gäben oder?

Comments

Wieso "theoretisch"? Es wird Dir doch moeglich sein, auch ein ganz konkretes Beispiel dafuer anzugeben.

Answer 1

Hallo Probe,

>  Aber theoretisch könnten es doch mehrere Maxima und Minima geben oder? 

Ja, das ist sehr gut möglich.

Beispiel:  Sinusfunktion  in   [ 0 ; 4π ]  

"ein" hat in der Mathematik immer die Bedeutung "mindestens ein". "Genau ein" muss man auch so formulieren.

Aber Vorsicht:  Gemeint sind in dem Satz absolute Maxima (Minima). Diese können auch am Rand liegen. Nullstellen von f ' muss es also auch dann nicht geben, wenn die Funktion differenzierbar ist. 

Beispiel:    f : [1 ; 2]  →  ℝ  ,  f(x) = 1/x  ,    Maximum 1  bei  x=1,  Minimum 1/2  bei x = 2 

Gruß Wolfgang

Comments

Ich verstehe nicht, was Du damit sagen willst..:

Aber Vorsicht:  Gemeint sind in dem Satz absolute Maxima (Minima). Diese können auch am Rand liegen. Nullstellen von f ' muss es also auch dann nicht geben, wenn die Funktion differenzierbar ist. 

Beispiel:    f : [1 ; 2]  →  ℝ  ,  f(x) = 1/x  ,    Maximum 1  bei  x=1,  Minimum 1/2  bei x = 2

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Das hätte ich auch weglassen können.

Da man Maxima und Minima ja meist mit Hilfe der Nullstellen von f '  sucht, könnte da aber jemand auf falsche Ideen kommen. Du natürlich nicht :-)