Oft geht es gar nicht darum, den Graphen von Funktionen zu zeichnen, sondern darum, ihn zu skizzieren, vielleicht auch in Bezug zu einem anderen Graphen. Es geht dann also um den qualitativen, nicht aber um den quantitativen Verlauf. Dazu ist es nützlich, einige Grundeigenschaften bestimmter Funktionstypen zu kennen.
Betrachten wir also die von dir angesprochenen Potenzfunktionen der Form \(x=a\cdot x^n\) für \(a \ne 0\) und \(n=1,2,3,\dots\) und unterscheiden zunächst zwischen den Potenzfunktionen mit geradem n und denen mit ungeradem n.
Die Graphen der Potenzfunktionen mit geradem Exponenten haben jeweils die Punkte \((-1|a)\), \((0|0)\) und \((1|a)\) gemeinsam und verlaufen symmetrisch zur \(y\)-Achse, während diejenigen mit ungeradem Exponenten die Punkte \((-1|-a)\), \((0|0)\) und \((1|a)\) gemeinsam haben und symmetrisch zum Ursprung verlaufen.
Mit größer werdenden Exponenten werden alle Graphen außerhalb des Intervalls \((-1,+1)\) steiler und innerhalb diese Intervalls flacher. Dies beruht aber nicht auf einer Streckung. Streckungen werden durch Veränderungen des Streckfaktors \(a\) bewirkt.
Die einfachsten Beispiele sind \(y=x^2\), \(y=x^3\), \(y=-x^2\) und \(y=-x^3\). Sonderfälle sind etwa \(y=x^1=x\) und \(y=x^0=1\). Im Schulbuch findet sich eine Übersicht mit einer Zusammenstellung der Grundeigenschaften und ein paar Beispielgraphen. Diese Kenntnisse reichen aus, um leicht typische Verläufe zu skizzieren.
