Uneigentliches Integral von 1/(e^x - 1), Grenzwert

Question

Ergibt das + oder - unendlich?

Bitte mit Begründung.

Answer 1

Zeichne es dir. Wenn es nicht konvergiert dann geht es auf jeden Fall gegen minus unendlich.

Wolframalpha sagt auch das es nicht konvergiert. Wie man das Begründet habe ich momentan nur eine Idee. Ich würde aus den 2 Integralen eines machen. Und zwar das Integral von 0 bis 1.

Probier das mal.

Comments

Wenn es nicht konvergiert dann geht es auf jeden Fall gegen minus unendlich.

Das ist doch Blödsinn.

---

Kannst du das begründen, warum es Blödsinn ist?

Aber davon ab. Darf man überhaupt über 0 hinweg integrieren, wenn die Funktion für 0 nicht definiert ist?

Ich denke das darf man nicht. Wer stellt so eine Aufgabe.

---

-unendlich + unendlich ist nie definiert.

Wenn beide Grenzwerte endlich wären, dürfte man wohl über 0 weg integrieren, sonst nicht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Uneigentliches_Integral#Definition 

---

Lu hat eigentlich schon alles gesagt.

Weil die Integrationsgrenzen a und b nicht miteinander korrelliert sind, müssen beide uneigentlichen Integrale in ℝ existieren, damit dem Integral von -1 bis 1 ein Wert zugewiesen werden kann.

Bildlich gesprochen: Wenn b in einer bestimmten Weise "schneller" nach 0 konvergiert als a, dann kann der negative Anteil so stark überwiegen, dass der Grenzwert für das Integral irgendetwas bis hin zu -∞ ist. Aber auch umgekehrt, falls a "schneller" konvergiert.

Wegen der Punktsymmetrie der Funktion f wäre offenbar
lim_a→0+  ( _-1∫^-a f(x) dx + _a∫¹ f(x) dx )  =  -1 , aber das ist nicht die Definition des uneigentlichen Integrals.

Answer 2

wenn es dir um die Konvergenz/Divergenz geht:

Es ist e^x-1 ≈x für x nahe 0

also läuft es auf die Betrachtung des Integrals

$$ \int_{-1}^{1}dx/x=\int_{-1}^{0}dx/x + \int_{0}^{1}dx/x $$

hinaus. Letzteres ist ein Standardbeispiel  für Divergenz.