Hilfe zur Anwendung der Geometrie mit quadratischen gleichungen

Question

Ein rechteck hat 46 cm umfang und 120 cm ² Flächeninhalt. Wie lang sind dessen Diagonalen ? Mit den quadratischen Funktionen lösen

Answer 1

Hi,

A = a*b = 120

u = 2a+2b = 46

Letzteres durch 2 dividieren und nach a umformen. Dann in die erste Gleichung

a = 23-b

--> (23-b)*b = 120

23b - b^2 = 120

b^2 - 23b + 120 = 0    |pq-Formel

b_(1) = 8 und b_(2) = 15

Damit in die andere Gleichung und man erhält a = 8 und b = 15 oder a = 15 und b = 8.

Die Diagonale ist dann d = √(a^2+b^2) = 17

Grüße

Answer 2

Ein Rechteck mit den Seiten \(a\) und \(b\) hat den Umfang von \(46\text{cm}\)

$$U=2(a+b)=46 \text{cm}$$

... und \(120 \text{cm}^2\) Flächeninhalt

$$F= a \cdot b = 120 \text{cm}^2$$

aus der ersten Gleichung folgt \(b=46 \text{cm}/2 -a\) - Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt

$$a \cdot (46 \text{cm}/2 -a) = 120 \text{cm}^2$$

$$a^2 - a \cdot 23 \text{cm} + 120 \text{cm}^2 = 0$$

$$a_{1,2}=11,5\text{cm} \pm \sqrt{132,25-120} \text{cm}=(11,5 \pm3,5 )\text{cm}$$

Daraus folgen die beiden Seiten \(a=8\text{cm}\) und \(b=15\text{cm}\) (bzw. umgekehrt, was aber keinen Unterschied macht) und damit die Diagonale \(d\)

$$d=\sqrt{8^2+15^2} \text{cm}=17\text{cm}$$

Gruß Werner