Geometrie: mithilfe Vektoren nachweisen, dass es eine Raute / Rechteck / Quadrat / Parallelogramm

Question

Ich schreibe nächste Woche Mathe Abitur und wollte mich vergewissern, ob folgende Bedingungen ausreichend, um festzustellen das es sich bei den Körper um folgende handelt.

Rechteck
- 4 rechte Winkel:
     3 von 4 Skalarprodukten null -> 3 rechte Winkel; 4 auch 90°, da 360°-3*90°=90°

Quadrat
 - 4 gleich lange Seiten und Bedingung vom Rechteck

Raute
 - 4 gleich lange Seiten und gegenüberliegende Winkel gleich groß

Parallelogramm
 - Gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel
    d.h AB=CD und AD=BC

Wäre sehr dankbar um eure Hilfe, wenn ich mir sagt ob dies ausreichend und richtig ist :)

LG Selina

Answer 1

Deine Angaben sind ausreichend und richtig.

Es geht aber auch einfacher. Am Beispiel eines Vierecks ABCD

Parallelogramm: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. Das prüfst du einfach durch

        \(\vec{AB} = \vec{DC}\).

Dann folgt automatisch \(\vec{AD} = \vec{BC}\).

Rechteck: Parallelogramm mit einen rechten Winkel. Dazu reicht es,

        \(\vec{AB} = \vec{DC}\) und \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\)

zu prüfen.

Raute:  Parallelogramm in dem alle Seiten gleich lang sind. Dazu reicht es,

        \(\vec{AD} = \vec{BC}\) und \(|\vec{AB}| = |\vec{AD}|\)

zu prüfen.

Quadrat: Rechteck und Raute. Es genügt

        \(\vec{AD} = \vec{BC}\),
        \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\) und
        \(|\vec{AB}| = |\vec{AD}|\)

zu prüfen.

Comments

Die Bestimmung von Längen ist bei den gegebenen Fragestellungen entbehrlich, Vektorenvergleiche genügen.

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Bei der Raute reicht nicht

        \(\vec{AD} = \vec{BC}\) und \(\vec{AB} = \vec{AD}\).

Das wäre sogar ein Zeichen dafür, dass es sich überhaupt nicht um ein Viereck handelt. Ebensowenig reicht

        \(\vec{AD} = \vec{BC}\) und \(\vec{AB} = \vec{DC}\).

Beim Quadrat sieht das ähnlich aus.

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Beim Parallelogramm reicht     \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\)

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Hab ich geändert. Danke.

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Bei der Raute sollte meiner Meinung nach
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \text{ und }\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$$auch genügen.

Oder habe ich irgendwas übersehen?

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Bei der Raute würde tatsächlich

        \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \text{ und }\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)

auch reichen. Das wäre sogar effizienter als mein Vorschlag.

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Beim Drachen genügt  \(\overrightarrow{AC}\) • \(\overrightarrow{BD}\) = 0  nicht  (Symmetrieachse!)

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Beim Rechteck müsste
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \text{ und }\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$$genügen.

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Ich habe den Drachen mal entfernt bis ich ein einfaches Kriterium gefunden habe.

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@az

das macht wegen \(\overrightarrow{AD}\) = \(\overrightarrow{BC}\) keinen Unterschied zu

\(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\) und \(\overrightarrow{AB}\) • \(\overrightarrow{AD}\) = 0  in der Antwort

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Das stimmt, aber da die Antwort inzwischen mehrfach geändert wurde, habe ich gar nicht mehr nachgeschaut, was oben so alles steht...

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Rechteck war von Anfang an so, da habe ich nichts geändert.

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Ich finde die in den Kommentaren belegten Änderungen von Oswald voll okay.

Es ist grundsätzlich wesentlich sinnvoller, wenn eine Antwort berichtigt ist, als wenn ein Leser sich alles in den Kommentaren zusammensuchen muss!