Kriterien für Wendestellen f(x) = -1/2x^4+3x^2

Question

Hallo , die frage lautet Untersuchen sie den graphen der funktion f auf Wendepunkte und krümmungsverhalten und  geben Sie die Gleichungen der

Wendetangenten an.

a) fx = -1/2x^4+3x^2

Kann mir das jemand zeigen wie man da vorgehen muss ich weiß nur das ich glaub ich die Ableitungen als erstes bestimmen soll 1 bis 3 ableitung weiter weiß ich nicht ,danke

Answer 1

Hi,

Vorarbeit

bestimme erstmal die Ableitungen:

f(x) = -1/2*x^4 + 3x^2

f'(x) = -2x^3 + 6x

f''(x) = -6x^2 + 6

f'''(x) = -12x

Wendepunkte

Um festzustellen, ob ein Wendepunkt vorliegt, muss die zweite Ableitung 0 gesetzt werden:

f''(x) = -6x^2+6 = 0

6x^2 = 6

x^2 = 1

x_(1,2) = ±1

Damit in die dritte Ableitung um Sicherzustellen, dass es auch Wendepunkte sind. Das ist der Fall, denn f'''(x_(1,2)) ≠ 0

In f(x) um die Wendepunkte zu bestimmen: W_(1)(-1|2,5) und W_(2)(1|2,5)

Wendeverhalten

Das Verhalten ändert sich bei x = -1 und x = 1. Wir haben eine nach unten geöffnete Parabel vierten Grades, weswegen vor x = -1 und nach x = 1 eine Rechtskrümmung vorliegt. Zwischen den Wendepunkte liegt eine Linkskrümmung vor.

Wendetangenten

Zum Bestimmen der Wendetangenten brauchen wir die Steigung an x = -1 und x = 1.

Wendetangente zu x = -1

f'(-1) = -4

Damit in y = mx + b, wobei m_(1) = -4 und der Punkt W_(-1)(-1|2,5) zu b verhelfen

2,5 = -1*(-4) + b

b = -1,5

--> y_(1) = -4x - 1,5

Wendetangente zu x = 1

f'(1) = 4

Damit in y = mx + b, wobei m_(2) = 4 und der Punkt W(1)(1|2,5) zu b verhelfen

2,5 = 1*(4) + b

b = -1,5

--> y_(2) = 4x - 1,5

Vergleich im Schaubild

~plot~ -1/2*x^4 + 3x^2; 4x - 1.5;-4x-1,5; [[-4|4|-5|5]]; x=-1;x = 1 ~plot~

Alles klar? :)

Grüße

Comments

Danke erstmal was ist mit der Hinreichenden und notwendigen Bedingung ? Wir haben außerdem das Krümmungsverhalten an einer Tabelle gemacht das verstehe ich nicht so ganz.

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Unter "Wendepunkte" hast Du doch die hinreichende und notwendige Bedingung. Hab sie halt nicht speziell als solche ausgeschrieben, aber das solltest Du erkennen ;).

Dann stell doch mal die Tabelle auf und vergleiche sie mit meiner Aussage.

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Also wenn man die Hinrei. bedin. lösen will dann muss man die 3te ableitung verwenden und bei der notwedendigen die 2te ? Und wie kommst du auf diese Antwort x_1,2 = ±1 weiß nicht wie du drauf gekommen bist.

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Not Bed besagt doch f''(x) = 0. Die hinr. verlangt außerdem noch, dass f'''(x) ≠ 0 ;).

x^2 = 1    |Wurzel ziehen (doppelte Lösung beachten)

x_(1,2) = ±1

Ist ja (-1)^2 = 1, wie auch 1^2 = 1 ist.

Ok? ;)

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Sry verstehe nicht ganz bei der hin bedingung  f'''(x) ≠ 0 was bedeuet dieses komische gleich habe als 3te ableitung y= -12x wo soll ich das jetzt einsetzen in diese funktion

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Das ist ein "Ungleich" und bedeutet, dass für f'''(x) jeder Wert rauskommen darf, nur nicht 0. Wenn keine 0 rauskommt, liegt ein Wendepunkt vor.

f'''(x) = -12x

f'''(-1) = -12*(-1) = 12, also nicht 0 -> Wendepunkt

f'''(1) = -12*1 = -12, also nicht  -> Wendepunkt

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Warum hast du den Wendepunkt doppelt berechnet nur anstatt mit - hast du + gemacht also anstatt -1 hast du 1 verwendet warum ? Und wie kommst du auf -1 und 1 wir haben doch nur -12x gegeben

Desweiteren wie soll ich die Lösung bei der Hinreichenden Bedingung und bei der Notwendigen also Koordinaten eingeben Also w( /  ) ?

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Hast Du Dich denn schonmal überhaupt mit der Materie auseinandergesetzt? Ich helfe ja gerne, aber komplette Grundlagen aufholen über den PC ist kaum möglich.

Das solltest Du wissen:

- Mögliche Wendestellen werden mit der zweiten Ableitung bestimmt, das sind bei uns x = -1 und x = 1.

- Diese werden mit der dritten Ableitung überprüft und tatsächlich als Wendestellen erkannt

- Die Stellen (also x-Werte) werden dann in f(x) eingesetzt um die y-Werte zu bestimmen und damit die Wendepunkte W_(1) und W_(2)

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Okay habe es verstanden du hast aber was koordinaten das hier geschrieben W₁(-1|2,5) und W₂(1|2,5) wir haben ja 12 und -12 rausbekommen wie kommst du jetzt auf 2,5 ? 

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Lies bitte meinen letzten Post nochmals. Im letzten Punkt habe ich erklärt, dass wenn die WendeSTELLE als gefunden wurde, man den WendePUNKT bestimmt, in dem man in f(x) einsetzt. Das f'''(x) hat nur zur Überprüfung gedient und hat nichts mit dem y-Wert von W_(1) und W_(2) zu tun.

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also unsere wendestelle ist -1 und 1 und dieses setzen wir dann ein in

f(-1)= -1/2*(-1)^4+3*(-1)^2 ? geht das so und das selbe auch mit 1 machen ?

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Sehr gut. So ist es. Vergleiche mit meinen Ergebnissen ;).

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okay muss noch eine tabelle zum krümungsverhalten machen das mit der wendetangete ist einfach aber das krümmungsverhalten an der tabelle verstehe ich gar nicht hier ist ein bild was ich gemacht habe vielleicht kannst du mir sagen was rein kommt damit ich nachvollziehen kann wie das geht 

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Die Intervalle stimmen doch gar nicht? Das muss x<-1, -1<x<1 und x>1 sein. Das sind  doch unsere drei Intervalle.

Dann fülle die Tabelle mal aus. Schau in alten Unterlagen nach.

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ich verstehe das gar nicht habe gerade geguckt mir fällt nichts ein

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Zu was fällt dir denn nichts ein? Das mit der Berichtigung des Intervalls ist verstanden?

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Ja das habe ich verstanden was du mir geschrieben hast

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Dann probier es zumindest mal und zeigs  ;).

Schau da noch in den alten Unterlagen nach.

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ok hier habe das gemacht 

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Hmm, Du kannst x_(0) nicht die Sonderstellen nehmen. Nimm lieber -2 bzw. 2

In der Mitte kannst Du gerne die 0 nehmen. Das ist da keine Sonderstelle. Was aber ist da mit den anderen beiden Kästchen? ;)

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also im ersten kasten oben kommt auch 0 und drunter kommt rechtsgekrümmt ?

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f''(x) = -6x² + 6

Was kommt da raus, wenn x = 0 ist?

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0 kommt raus

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Das rechnest mir mal vor ;).

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Ist das falsch oder wie ^^

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Sonst würde ich Dich ja nicht bitten vorzurechnen.

Ich will aber, dass Du es verstehst. Vorrechnen meinerseits bringt da aber nicht viel.

Also bitte:

f''(x) = -6x² + 6, mit x = 0. Zeig her ;).

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6 kommt raus habe 0^2 gemacht ohne die -6 mit einzubeziehen

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Yup genau. So ist es richtig :). Wenn die zweite Ableitung positiv ist...was haben wir dann für eine Krümmung?

Mach das dann für links und rechts auch noch.