Ich soll beweisen, dass für alle reellen Zahlen x, y ∈ ℝ die Youngsche Ungleichung gilt: $$ xy\quad \le \quad \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } $$
Gelöst habe ich diese so (hoffentlich richtig?)
$$ xy\quad \le \quad \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { y }^{ 2 } }{ 2 } $$ | *2
$$ 2xy\quad \le \quad { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } $$ | -2xy
$$ 0\quad \le \quad { x }^{ 2 }-2xy+{ y }^{ 2 } $$
$$ 0\quad \le \quad { \left( x-y \right) }^{ 2 } $$ Letzes gilt, da für jedes x>0 gilt x²>0. Somit ist dies bewiesen.
Der zweite Teil der Aufgabe ist die Verallgemeinerung der Youngschen Ungleichung zu beweisen. ε>0.
Das habe ich auf gleiche Weise wie oben gemacht. Aus $$ xy\quad \le \quad \varepsilon { x }^{ 2 }+\frac { { y }^{ 2 } }{ 4\varepsilon } $$ habe ich diese Gleichung bekommen: $$ 0\quad \le { \quad \left( 2\varepsilon x-y \right) }^{ 2 }$$
Dies gilt für alle x, y ∈ ℝ
In der Angabe für diese Aufgabe steht, dass ich ohne Beweis verwenden darf, dass es ein r>0 aus ℝ gibt mit r²=2ε.
Wie verwende ich dies in der Aufgabe? Oder brauche ich das gar nicht mehr zu verwenden?
Danke für Hilfe im Voraus.
