Formel durch Fallunterscheidung beweisen

Question

Ich habe die Formel : max{x,y}=12(x+y+|x−y|)

nun soll ich aufgrund von vorherigem Rat eine Fallunterscheidung durchführen. Es gibt nun Fall 1: x≥y und Fall2: x<y

Könnte mir nun jemand, da ich schon recherchiert habe und keine brauchbare Anleitung zum Thema Fallunterscheidung gefunden habe, einen der beiden Fälle vorrechnen, sodass ich weiß, wie ich dies am anderen Fall eigenständig anwende.

Danke schon im Voraus :)

Comments

Weißt du ,wie man den Betrag einer Zahl ausrechnet? In dem einen Fall macht man ein Minus vor die Zahl und in dem anderen Fall nicht.

---

Ich weiß, dass IxI = x,   wenn x>0
                              0,   wenn x=0
                              -x,   wenn x<0

Meinst du das? Aber wie genau hilft mir das hier weiter?
 

---

Genau das meine ich. Wenn x>=y ist, dann ist x-y>=0 . Damit hast du |x-y|=x-y

Dann steht dort in der Gleichung rechts 1/2*(2x)=x. Und da x>=y galt ist x auch Maximum, daher ist die Gleichung richtig.

Der andere Fall geht genauso bloß halt mit dem Minus.

---

Ich hab es nun endlich verstanden und konnte es auch auf die Minimumsfunktion anwenden. :)

Answer 1

Deine Formel ist falsch.
Es muß lauten

max {x,y} = 1/2 * ( x+y + |x−y| )

Die frage hatten wir gestern und heute bereits 2 mal
Schau nach unter

https://www.mathelounge.de/475648/betragsgleichung-und-betragsungleichung

1.) Bildest die Mitte zwischen x und y durch
( x + y ) / 2
Dann bildest du die Differenz zwischen
( x - y ) als positiven Betrag
| x - y | .Davon die Hälfte.
2.) | x - y | / 2

ist min gesucht ergibt sich
1.) minus 2.)
ist max gesucht
1.) plus 2.)

Comments

Bildlich ist es wahrscheinlich
am einfachsten

---

> Bildlich ist es wahrscheinlich am einfachsten

Ich denke, in der  Antwort  wurde eigentlich nur erklärt, wie man eine Klammer

1/2 * (A + B) ausrechnet.

Answer 2

zu zeigen ist:

1)    max(x,y) = 1/2 * ( x+y + |x−y| )

für x ≥ y   gilt   x - y ≥ 0   und damit  |x-y| = x - y

1/2 * ( x + y + x − y )  = 1/2 * 2x  = x   (was natürlich = max(x,y) ist)

für x < y  ist  x - y <  0   und damit  |x-y|  = - x + y 

1/2 * ( x + y + (-x + y)) = 1/2 * (x + y - x + y )  =  1/2 * 2y = y  (was natürlich = max(x,y) ist)

2)   min(x,y) = 1/2 * ( x+y - |x−y| )

für x ≥ y   

1/2 * ( x + y - (x−y) ) = 1/2 * ( x + y - x + y) = 1/2 * 2y  = y   (was natürlich = min(x,y) ist)

für x < y 

1/2 * ( x + y - (-x+y) ) =  1/2 * ( x + y + x - y )  =  1/2 * 2x = x  (was natürlich = min(x,y) ist)

Gruß Wolfgang