Stochastik Textaufgabe Wahrscheinlichkeit ausrechnen

Question

ich habe eine Aufgabe bei der ich schon lange dransitze aber nicht weiß wie ich da überhaupt anfangen soll.

Aufgabe:  Bei defekten Taschenrechner treten zwei mögliche Fehlerquellen auf: ein defektes Elektronikteil oder ein defektes Display. Ist bei einem Rechner nur das Elektronikteil defekt, kann er repariert werden.

Das Elektronikteil funktioniert in 36% der defekten Taschenrechner nicht. 85% der defekten Taschenrechner sind nicht reperabel.

Eine Schule schickt einen Taschenrechner mit einem defekten Elektronikteil an den Hersteller.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er nicht repariert werden?

Ich habe das Problem das ich nicht weiß, was ich jetzt überhaupt machen muss.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Oux

Answer 1

Zunächst mal müsste man annehmen, dass beide Fehler unabhängig sind, weil sonst Angaben fehlen. Also

d = P(Display defekt)

b = P(Baudeil defekt)

P(defekt) = d + b - d*b

P(Bauteil defekt | defekt) = b / (d + b - d*b) = 0.36

P(Display defekt | defekt) = d / (d + b - d*b) = 0.85

Wir lösen das Gleichungssystem und erhalten b = 21/85 ∧ d = 7/12

P(Display defekt|Bauteil defekt) = d = 7/12

Hier mal eine 4-Felder Tafel mit absoluten werten. Diente mir nur zur Kontrolle.

	b	-b
d	147	448	595
-d	105	320	425
	252	768	1020

Comments

Danke für die ausführliche Antwort, aber ich muss sagen, dass ich nichts verstehe. Ich verstehe nicht woher die ganzen Gleichungen kommen, wieso man die Wahrscheinlichkeit für einen defekt braucht und man immer durch die Wahrscheinlichkeit von einem defekt teilt.

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Weil eine bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben ist und da gilt nach dem Satz von Bayes

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

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Und wenn man diesen Satz noch nie hatte. Kann man das auch anders lösen?

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Dann wäre die Frage was ihr hattet?

Bedingte Wahrscheinlichkeiten treten bereits in Baumdiagrammen auf.

Hattet Ihr bereits 4-Felder Tafeln gemacht ?

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Wir hatten das Bernoulli-Experiment und die 4 Felder Tafel.

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Wenn Ihr die 4-Felder Tafel hattet, dann habt ihr auch die Bedingte Wahrscheinlichkeit gemacht. Den Satz von Bayes habt ihr dann nur nicht so genannt aber die Berechnung in der 4-Felder-Tafel hattet ihr mit Sicherheit.

Mach also eine 4-Felder-Tafel

	Bauteil defekt	Bauteil heil	Gesamt
Display defekt	b*d	(1-b)*d	d
Display heil	b*(1-d)	(1-b)*(1-d)	1-d
Gesamt	b	1-b	1

Dort solltest du jetzt wissen welches Feld du durch ein anderes Teilen musst um die Bedingte Wahrscheinlichkeit zu bekommen.

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Ich hab das dann mal gerechnet und wollte Fragen ob das so stimmt.

	Bauteil defekt	Bauteil heil	Gesamt
Display defekt	0,306	0,544	0,85
Display heil	0,054	0,096	0,15
Gesamt	0,36	0,64	1

Falls das stimmen sollte verstehe ich aber nicht was dann die Antwort auf die Frage : Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er nicht repariert werden ist.

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Wäre die Lösung dann 30,6%?

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Das ist verkehrt, denn es steht dort nicht das bei 36% aller Taschenrechner das Bauteil defekt ist sondern nur das von allen Defekten Taschenrechnern bei 36% das Bauteil defekt ist. Damit bezieht sich das nicht auf alle sondern nur auf die defekten.

"Das Elektronikteil funktioniert in 36% der defekten Taschenrechner nicht."

Ich weiß, dass das sehr verwirrend ist. Aber man muss hier tatsächlich immer ganz exakt lesen. Erfahrungsgemäß lesen aber 70% der Schüler nicht genau genug.

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Ich muss sagen, dass ich jetzt gar nichts mehr verstehe. Es dreht sich doch nur um die defekten Taschenrechner.

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Genau. Es dreht sich nur um die defekten.

Also um die wo nur das Bauteildefekt ist, wo nur das Display defekt ist und die wo Bauteil und Display defekt sind.

Wenn ich jetzt sage "Das Elektronikteil funktioniert in 36% der defekten Taschenrechner nicht."

Jetzt haben also nicht 36% von allen Taschenrechnern ein defektes Bauteil sondern nur 36% von den defekten Taschenrechnern. Das ist ein großer unterschied.

Du tust so als wenn bei 36% aller Taschenrechner das Bauteil defekt ist. Und das ist eben verkehrt.

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Kannst du mir vielleicht mit meiner 4 Felder Tafel erklären was ich da ändern muss damit ich das richtige rausbekommen. Ich habe sonst die Befürchtung das ich niemals verstehen werde was ich ändern muss.

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Die Wahrscheinlichkeit etwas defektes zu haben ergibt sich aus der Summe dreier Felder. Nämlich alle 3 Felder mit Ausnahme das sowohl Display als auch Bauteil heil sind.

Wie du diese Summe berechnest ist egal. Es gibt mehrere Wege

P(defekt) = b + (1-b)*d = b + d - b·d

P(defekt) = d + b*(1 - d) = b + d - b·d

P(defekt) = 1 - (1 - b)*(1 - d) = b + d - b·d

Da im Baumdiagramm immer gilt

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

gilt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

oder bei dir

P(Bauteil defekt | defekt) = P(Bauteil defekt ∩ defekt) / P(defekt) = b / (b + d - b·d) = 0.36

Das ist das was ich ja oben in meiner Rechnung schon stehen hatte.

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Danke. Ich habe es so einigermaßen verstanden.  Das einzigste was ich nicht verstehe ist

P(Display defekt|Bauteil defekt) = d = 7/12

Müsste die Lösung nicht 0,1441 sein?

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Die Ereignisse sind ja unabhängig und damit gilt

P(A|B) = P(A|nicht B) = P(A)

Also

P(Display defekt|Bauteil defekt) = P(Display defekt) = d = 7/12