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Zeichnen Sie ein Rechteck ABCD mit den Seiten = 14 cm und = 3 cm.

Der Punkt P befinde sich auf der Seite im Abstand 2 cm von A , der Punkt Q auf der Seite im Abstand 2 cm von C.

Spiegeln Sie das Rechteck ABCD an der Geraden PQ.

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes, das die beiden Rechtecke gemeinsam haben.

Skizze:

Bild Mathematik

Wie kann ich hier vorgehen?

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Hallo ani,

Die gemeinsame Fläche - hier \(PXQX'\) - ist eine Raute.

Bild Mathematik

Es reicht also aus, die Strecke \(PX\) zu bestimmen, dann ist die Fläche

$$F=AD \cdot PX$$ Am einfachsten lässt sich \(PX\) wohl über die beiden ähnlichen Dreiecke \(PYQ\) und \(PXM\) bestimmen. \(Y\) ist der Fußpunkt vom Lot des Punktes \(Q\) auf \(AB\) und \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(PQ\). Aus der Ähnlichkeit folgt direkt

$$\frac{PX}{PM} = \frac{PQ}{PY}$$

mit \(PM= \frac12 PQ\) also

$$PX = \frac{\frac12 PQ^2}{PY}= \frac{\frac12 \cdot(3^2 + 10^2)}{10}=\frac{109}{20}=5,45$$

und die Fläche ist dann \(F=AD \cdot PX=3\text{cm} \cdot 5,45\text{cm}=16,35 \text{cm}^2\)

 

Da Du aber in der Überschrift das Wort 'Trigonometrie' stehen hast, hier nach ein zweites Verfahren: Der Winkel \(QPB=\alpha\) (der blaue Winkel) ist

$$\tan( \alpha ) = \frac{QY}{PY}=\frac{3}{10} \quad \Rightarrow \alpha=\arctan(\frac{3}{10}) \approx 16,70°$$ Die Strecke \(XF\) (rote Strecke) ist wieder die Höhe des Rechtecks. Aus dem rechtwinkligen Dreieck \(PXF\) kann man ablesen:

$$\sin(2\alpha) = \frac{XF}{PX} \quad \Rightarrow PX=\frac{XF}{\sin(2\alpha)}\approx\frac{3}{\sin(33,4°)} \approx 5,45$$

Die Lösung ist natürlich die gleiche.

Gruß Werner

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Jetzt verstehe ich wie es gemeint ist :-)

Darf ich dich fragen, mit welchem Programm Du die Skizze erstellt hast?

Freut mich, dass ich Dir helfen konnte :-)

Für die Bilder benutze ich Cinderella von Jürgen Richter-Gebert  von der TU München und Ulrich Kortenkamp.

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