126cm = a * b Rechteck - einfache Berechnung?

Question

126cm^{2= a* b}

^{wie kann ich das einfach zurückrechnen?}

^{Gegeben ist nur der Umfang 46cm und die Fläche 126cm}

Answer 1

Wnen man ganzzahlige Seiten vermutet kann man die Fläche 126 einfach mal aufteilen

126 = 1 * 126

126 = 2 * 63

126 = 3 * 42

126 = 6 * 21

126 = 7 * 18

126 = 9 * 14

Das waren schon alle Möglichkeiten. Der Der Umfang 46 oder der halbe Umfang 23 ist bietet sich hier natürlich 9 und 14 als Seitenlängen an.

Man braucht oben auch nicht alle Möglichkeiten aufschreiben. Man sollte erkennen das sich die Summe der Zahlen von oben nach unten verkleinert. So weiß man gezielt wie man die Zerlegung anpassen muss.

Comments

  Siehe meine Antwort. Erstens fehlt hier der Hinweis auf den SRN ( warum die Teiler GANZZAHLIG sein müssen. )
   Und zweitens kenne ich deinen Fehler ganz typisch von User " Ribek " ( meiner Primärquelle für SRN ) Du hast den gkt nicht beachtet; deine Schätzung ist zu pessimistisch. Die beiden Rechteckseiten müssen Teiler fremd sein.
  Ich sagte doch: Das Ding kann unmöglich von Gauß stammen.

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Ich habe die Aufgabe auf dem Niveau der 5. Klassenstufe gelöst.

Da der Schüler 11 Jahre alt ist sollten wir hier bitte nicht zu viel voraussetzen.

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    In Kl. 5 ist aber schon der Hauptsatz der Zahlenteorie dran; die Primfaktorenzerlegung.
  Und wie man den ggt einer quadratischen gleichung erkennt - auch das könnte ich ihm zeigen.
   Sein Lehrer ja nicht. Der gehört ja umgekehrt zu dem Personal, welches Erfolg reich die Ausbreitung des gkt verhindert.
  Hier mir Frankfotter kenne da en gi le Witz. Weißte, we der klaane Bupp is unn wer sein Lehrer is?
  Waasde schon emaa in ===> Dribbdebach geweese; in Sachsehause? Uff'n Affetorplatz?
  Sitzt e klaa Äffsche uff'ne Palm in Urwald. Unn rings von alle Seite kimmt konzentrisch e Riese Feuerwalz auf des Äffsche auf zu. Wie soll sisch des Äffsche in Sischerheit pringe?
  Antwott: Ei woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wann's de große Aff net weiß?

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  Umgekehrt wird ein Schuh draus. Wäre der SRN von Gauß bzw. wäre er allgemein bekannt. So würde man quadratische Gleichungen pädagogisch nicht über die Mitternachtsformel begründen, sondern über meine beiden pq-Formeln



    p1  p2  =  a0

    q1  q2  =  a2

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Und ich hatte schon gehofft, dieser Unsinn würde uns zukünftig erspart bleiben...

Zu früh gefreut!

Answer 2

U=     2a+2b= 46cm

A=    a•b= 126cm²

Dann hast du ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Formeln..

Jetzt musst du nur noch das Gleichungssystem auflösen.

Comments

Guten Morgen
Das ist mir soweit klar gewesen - vielleicht stehe ich ja auf der Leitung aber wie löse ich diese Gleichungen am einfachsten?
2a+2b=46 ¦ -2a
2b=46-2a  ¦ :2
b=23-a       ¦ jetzt kann ich irgendetwas einsetzen um die Gleichung zu lösen - komme mit dieser Zahl dann nicht auf die 126cm^2....... oder anders gesagt: ich komme auf die 126 wenn ich :
b=23-a ¦ a=2
b=21 ok soweit?

a*b= 126
a*21=126 ¦ : 21
a=6

aber b könnte ja auch 18 sein .... also kann ich zwar die Gleichung lösen, werde aber nie herausfinden, welche Ursprungszahlen dem Rechteck zugrunde lag...
Wo ist mein Denkfehler?

Answer 3

Der Ansatz ist klar

2a+2b= 46    =<   b = 23-a      unten einsetzen

  a*b=  126

dann

a*( 23-a) = 126   | Klammer auflösen

23a-a²= 126        | sortieren

-a²+23a-126= 0    | /(-1)

  a²-23a+126= 0   | nun die pq-Formel anwenden

  a_1,2  =  11,5 ±√(11,5² -126)

         = 11,5 ±2,5                  L ={ 14  , 9 }

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Comments

ok - und wie erkläre ich das meinem 11Jahre alten Sohn??;-)

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Muss er diese Aufgabe wirklich analytisch lösen? Oder vielleicht auch durch "ausprobieren" ?

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leider sieht man der Aufgabenstellung nicht immer an für welche KLassenstufe sie ist.

die Lösung von Mathecoach passt dann schon besser.

Answer 4

  Ich lege hier ganz typisch den Rückwärtsgang ein. Am Anfang steht bei mir die Behauptung, die Lösung ist durch die Wurzeln der quadratischen Gleichung gegeben

       f  (  x  )  :=   x  ²  -  p  x  +  q  =  0        (  1  )

   Bloß - was ist p und q ? Vieta das geschmähte Stiefkind

      p  =  x1  +  x2  =  U/2  =  23       (  2a  )

      q  =  x1  x2  =  126           (  2b  )

      x  ²  -  23  x  +  126  =  0         (  2c  )

    Gar nichts wird hier eingesetzt; man sollte es nicht für Möglich halten. Vor mir ist noch keinem Mathelehrer aufgefallen, dass die Koeffizienten von ( 2c ) nichts weiter sind als deine Original Daten. Und in Abschreiben wart ihr Schüler doch immer Spitze ...

    Mit der Mitternachtsformel mach ich das bestimmt nicht; hier schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

  Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Genau die Antwort auf deine Frage: wie kann ich das einfach zurückrechnen? Du hast bitte schön verstanden: In ( 2b ) sind nur alle GANZZAHLIGEN Zerlegungen des Absolutgliedes 126 gesucht.  Die Behauptung von Wiki allerdings, der SRN gehe auf Gauß zurück, stellt eine dreiste Fälschung dar. Die früheste Quelle, die Wiki namhaft machen kann, stammt aus dem ( wahrscheinlichen ) Entdeckungsjahr 2006. Was du als Schüler noch nicht wissen kannst: Als seriös gelten nur v.d. Waerden und Artin ( 1930 )

   Die 126 zerlegen - ist das nicht ein bissele viel Holz? Immerhin lautet die Primzahlzerlegung 126 = 2 * 3 ² * 7 . Aber du weißt doch - es wird nichts so heiß gegessen ...

   Die beiden Wurzeln x1;2 von ( 2c ) sind nämlich TEILER FREMD .

  Woher weiß ich jetzt das auf einmal schon wieder?

   Machen wir erst mal fertig; Teiler fremd bedeutet: Du darfst das Dreierpäckchen niemals aufschnüren; du musst mit nur drei effektiven Faktoren rechnen 126 = 2 * 7 * 9

   Du das geht jetzt streng kombinatorisch nach ===> Binominalstatistik mit ihren ===> Binominalkoeffizienten. 126 besteht aus n = 3 Faktoren; zunächst kommt ( n 0 ) = 1 triviale Zerlegung

    

               x1  =  1  ;  x2  =  126  ;  p  =  127        (  3a  )

     Und als nächstes ( n 1 ) = 3 Zerlegungen mit je einem Faktor ( auf die linke Seite :

    

               x1  =  2  ;  x2  =  7  *  9  =  63  ;  p  =  65         (  3b  )

               x1  =  7  ;  x2  =  2  *  9  =  18  ;  p  =  25         (  3c  )

               x1  =  9  ;  x2  =  2  *  7  =  14  ;  p  =  23         (  3d  )    ;  ok

    Wie war das jetzt mit dem ggt? Abermals bemühe ich den Satz von Vieta; sei m ein Teiler

        m  |  x1;2  <===>  m  |  p  ;  m  ²  |  q      (  4a  )

        Ein m, welches die rechte Seite von ( 4a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms in ( 1 ) heißen ( K wie Koeffizient ) Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt . doe Bejhauptung in ( 1 )

       ggt  x1;2  =  gkt  (  f  )    (  4b  )

   Und abermals. Teilerfürst Gauß. der Entdecker von teilbarkeitseigenschaften, die unsereins nicht mal versteht, sollte die Bedeutung des gkt verpennt haben? Abwegig.