ich gebe mal einen Ansatz zur Diskussion:
Wir haben n Kugeln, davon m schwarze Kugeln und k Kugelpaare. Also w:=m-n weiße Kugeln. Wir betrachten einen Kreis aus w weißen Kugeln:
~draw~ kreis(0|0 1);kreis(2|0.5 1);kreis(3.8|1.5 1);kreis(-2|0.5 1);kreis(-3.8|1.5 1);;vektor(2|-3 -0.5|2 "");vektor(-2|-3 0.5|2 "");vektor(-4.5|-2 1|2 "");vektor(4.5|-2 -1|2 "");zoom(10) ~draw~
An den Pfeilen können wir dann jeweils genau ein Objekt einfügen, insgesamt somit w-1 Stück, s.d. sich diese später nicht berühren. Da wir k Paare und m-2k einzelne Kugeln haben, ergibt das insgesamt m-k einzufügende Objekte. Es muss somit eine Grundvoraussetzung erfüllt sein:
$$ w - 1 = n - m - 1 \geq m - k \quad\Rightarrow\quad n \geq 2m-k + 1$$
Ich bezeichne im Folgenden nun weiße Kugeln mit 0, schwarze mit 1 und zwei schwarze Kugeln mit 2. Lücken mit _
Nun besorgen wir uns w-1 Behälter, stellen sie in eine Reihe und verteilen die 1er und 2er darauf.
Es gibt k 2er und m-2k 1er. (w-1)-(k)-(m-2k)=(n-m-1)-(k)-(m-2k)=n-2m+k-1 Behälter werde leer bleiben, erhalten somit ein _
Die Anzahl der unterschiedlichen Verteilungen auf die Behälter (Permutation mit Wiederholung) ist:
$$\frac{ \left( w-1 \right)! }{ k! * (m-2k)! * (n-2m+k-1)!} = \frac{(n-m-1)! }{ k! * (m-2k)! * (n-2m+k-1)!} $$Nun sucht man sich eine feste(!) Einfügeposition im weißen Kreis, fügt jeweils den Inhalt des ersten Behälters ein, geht eine Stelle nach rechts, den Inhalt des zweiten Behälters, etc. (Falls leer einfach zum nächsten gehen)
Es bleibt das Problem, dass z.B. die Behälterkombi 1 1 _ _ _ 2 _ _ das gleiche Bild wie _ 1 1 _ _ _ 2 _ hervorrufen wird (eben nur um eine Stelle verdreht). Wir erhalten jedes Bild w-1=n-m-1 mal, somit müsste die Gesamtzahl aller Kombinationen mit
$$ A(m,n,k) := \frac{1}{n-m-1} * \frac{(n-m-1)! }{ k! * (m-2k)! * (n-2m+k-1)!} $$ anzugeben sein. Aber ob das stimmt? Ich weiß es nicht.
Gruß
