Erwartungswert/Standardabweichung?

Question

Die Zufallsgrösse X gibt den Gewinn in Euro bei einem Glücksspiel mit Einsatz 1€ an. Die Tabelle gibt ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung an (siehe unten)!

a). Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.

b). Wie groß muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?

c). Ändern Sie die maximale Auszahlung so ab, dass das Spiel bei einem Einsatz von 1€ fair ist.

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline g & {-1} & {0} & {1} & {4} \\ \hline P(X=g) & {\frac{2}{3}} & {\frac{1}{6}} & {\frac{1}{10}} & {\frac{1}{15}} \\ \hline\end{array} \)

Answer 1

Ein wenig Beschäftigung mit dem Thema, bevor du die Frage stellst, kann nicht schaden.

Was ist der Erwartungswert? Der Erwartungswert ist die Summe der Produkte aus den Zufallsgrößen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Ein Einsatz ist fair, wenn Gewinn und Verlust zusammen Null ergeben.

Versuche jetzt mal, die Aufgabe zu lösen. Wenn es hakt, helfe ich dir gerne.

Comments

Beim Erwartungswert habe ich -0,3 raus - stimmt das?

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Ja, das stimmt.

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Danach komme ich nicht weiter :(

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Bei 1€ Einsatz ergibt sich ein E(X)=-0,30€

Bei einem fairen Spiel muss E(X)=0 sein; also wird der Einsatz jetzt  um 0,30 € reduziert auf 0,70 €. Zur Kontrolle kannst du jeden Wert bei g um 0,30 erhöhen und nochmal den neuen Erwartungswert ausrechnen. Dann siehst du, dass E(X)=0 ist.

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Könntest du den Rechnungsweg nochmal aufschreiben? Mich bringt das leider so nicht weiter

Wäre super

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zu b) Überlege mal, wie oben in der Tabelle g zustande gekommen ist, wenn der Einsatz 1€ ist. Der Gewinn (g) ist doch immer Ausschüttung (a) minus Einsatz, also g=a - 1

Wenn g₁ = -1 ist, dann ist a₁ = 0, da 0 - 1 = -1 ist

Wenn g₂ = 0 ist, dann ist a₂ = 1, da 1 - 1 = 0 ist.

Wenn g₃ = 1 ist, dann ist a₃ = 2, da 2 - 1= 1 ist.

Wenn g₄ = 4 ist, dann ist a₄ = 5, da 5 - 1 = 1 ist.

Da nach dem Einsatz gefragt ist, setz du jetzt für 1 die Variable x ein in die Gleichung für den Erwartungswert und diese Gleichung setzt du dann Null (weil das Spiel fair sein soll) und löst dann nach x auf:

(0-x)* 2/3 + (1-x)* 1/6 + (2-x)* 1/10 +(5-x)* 1/15 = 0

Nach der Zusammenfassung ergibt sich x = 0,70 € (=Einsatz für faires Spiel).

Einfacher geht es dadurch, dass du weißt, dass E(X) = -0,30 € ist, Das bedeutet du verlierst durchschnittlich bei jedem Spiel 0,30 €, wenn der Einsatz 1 € ist.

Also wird der Einsatz um 0,30 € reduziert, d.h. auf 0,70 € und schon ist das Spiel fair.