Gleichung zweier sich schneidender Ebenen E1 und E2

Question

Hallo :) kann mir jemand bitte bei der Aufgabe 5 (nur a) und b)) helfen? Es geht um eine Gleichung zweier sich schneidenden Ebenen E1 und E2, deren Schnittgerade die Gerade g ist. Wie ist das Prinzip? Ich habe noch in Erinnerung, dass man das Vektorprodukt benutzen muss bei dieser Aufgabe? Stimmt das?

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Hallo ba,

ich zeige dir das am Beispiel b)  (und schreibe die Vektoren in Zeilenform  [ x, y, z ]

g:   \(\vec{x}\)  =  [ 1, 2, 3 ]  +  t * [ 3, 2, 1 ]

Für die beiden Ebenen kannst du jeweils den Stützvekor  [ 1, 2, 3 ]  von g  und einen Normalenvektor  \(\vec{n}\)   nehmen der zum Richtungsvektor  [ 3, 2, 1 ]  von g senkrecht steht.

Senkrechte Vektoren von [3, 2, 1]  (Skalarprodukt = 0)  findest du, indem du eine Koordinate = 0 setzt, die beiden anderen vertauschst und bei einer von diesen das Vorzeichen änderst, z. B. 

\(\vec{n_1}\)  =  [ 0, -1 , 2 ]   ;   \(\vec{n_2}\)  =  [ 1, 0 , -3 ]  

E₁ :      [ 0, -1 , 2 ] * \(\vec{x}\)  -  [ 0, -1 , 2 ]  *  [ 1, 2, 3 ]   

                         [ 0, -1 , 2 ] * \(\vec{x}\)  - 4  =  0

E₂ :      [ 1, 0 , -3 ] * \(\vec{x}\)  -  [ 1, 0 , -3 ]  *   [ 1, 2, 3 ]   

                         [ 1, 0 , -3 ] * \(\vec{x}\)  + 8  = 0 

Gruß Wolfgang

Answer 2

"Wie ist das Prinzip? Ich habe noch in Erinnerung, dass man das Vektorprodukt benutzen muss bei dieser Aufgabe? Stimmt das?"

Eher nicht. Rechnen muss man eigentlich gar nichts. Man kann die gemeinsame Gerade bei der Formulierung der Ebenendefinition berücksichtigen:

$$ \,\,\,\,g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} $$$$ E_1: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} $$$$ E_2: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} $$

PS: Parameterbezeichner berichtigt.