Bestimmen Sie Ebenen E1 und E2, die in der Quadrik liegen und deren Abstand

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Quadrik
\( \mathcal{Q}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid-\frac{1}{2} x_{1}^{2}-\frac{1}{2} x_{3}^{2}+x_{1} x_{3}-4 x_{1}+4 x_{3}-1=0\right\} \)
Die Gestalt von \( \mathcal{Q} \) ist ein paralleles Ebenenpaar. Bestimmen Sie Ebenen \( E_{1} \neq E_{2} \), die in \( \mathcal{Q} \) liegen. Bestimmen Sie den Abstand zwischen \( E_{1} \) und \( E_{2} \).

Problem/Ansatz:

erstmal versucht auf die euklidische Normalform zu kommen. In der Aufgabenstellung wird ja schon gesagt, dass es sich um ein paralleles Ebenenpaar handelt. allg. Form: -x₁²+1=0

Ich bin aber leider nicht auf die Form gekommen.

Nur auf das: -y₃²+16y₃-1=0

mit

A=

-1/2	0	1/2
0	0	0
1/2	0	-1/2

a=(-4,0,4)

c=-1

D=

0	0	0
0	0	0
0	0	-1

F=

0	1	0
1	0	1
-1	0	1

y^TDy+2(F^Ta)y^T+c

-->  -y₃²+16y₃-1=0

Wo liegt der Fehler?

Wie bestimmt man die Ebenen und deren Abstand?

Answer 1

Hallo,

aus $$\mathcal{Q}=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid-\frac{1}{2} x_{1}^{2}-\frac{1}{2} x_{3}^{2}+x_{1} x_{3}-4 x_{1}+4 x_{3}-1=0\right\}$$wird $$x^T\begin{pmatrix} -1/2 & 0 & 1/2 \\0&0&0\\ 1/2& 0 & -1/2 \end{pmatrix}x +2 \begin{pmatrix} -2\\0 \\ 2 \end{pmatrix}^Tx + (-1) =0 $$im Prinzip hast Du das ja oben schon stehen. Mit der erweiterten Darstellungsmatrix sieht das dann so aus:$$\overline x^T \overline A \overline x = 0\quad \overline A = \begin{pmatrix} -1/2 & 0 & 1/2& -2 \\0&0&0 &0\\ 1/2& 0 & -1/2 &2 \\ -2& 0& 2& -1 \end{pmatrix}$$ wobei das \(\overline x\) die homogen Koordinate ist$$\overline x = \begin{pmatrix} x\\1 \end{pmatrix} \quad x \in \mathbb R^3$$Wenn man sich die Gleichung anschaut, so kann man vielleicht erkennen, dass man \(x_1\) und \(x_3\) unter Vorzeichenwechsel vertauschen kann, ohne die Gleichung zu verändern. Also ersetze \(x_1\) durch \(-x_3\) und umgekehrt. D.h. die Quadrik ist symmetrisch zu \(x_3=-x_1\), was die Winkelhalbierenden eines Qudranten ist.

Dann kann man ja auf die Idee kommen, das Ding um 45° zu drehen. Die Drehachse ist die \(x_2\)-Achse. Man transformiert also$$\overline x = D \overline u \quad D = \begin{pmatrix}\cos(45°)& 0& \sin(45°)& -2\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin(45°)& 0& \cos(45°)& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$$Den Positionsanteil \(b=\begin{pmatrix}-2&0&2\end{pmatrix}^T\) habe ich gleich dazu geschummelt. Einsetzen in $$(D \overline u)^T \overline A D \overline u = 0 \implies \overline u^T \underbrace{\left( D^T \overline A D\right)}_{\overline A'} \overline u = 0$$ gibt dann$$\overline A' = \begin{pmatrix}-1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 7\end{pmatrix} \implies -u_1^2+7 = 0 \implies \frac{u_1^2}{7} = 1$$D.h. der Abstand \(d\) der Ebenen ist \(d=2\sqrt 7\).

Anbei die \(x_1x_3\)-Ebene der Quadrik in Desmos gegossen:

Gruß Werner