Die Ableitung von 3te Wurzel aus x als Wurzel schreiben - wie?

Question

ich muss die Ableitung von 3te Wurzel aus x bestimmen. Ich bin zu 1/3x^-2/3 gekommen. Nun weis ich nicht, wie ich dieses Ausdruck als Wurzel schreiben soll? 

Es ist folgende Aufgabe: f(0,oo) -> IIR mit f(x)=ln(x)/(³√(x))

berechnen sie den Limes für x gegen Unendlich. Zähler und Nenner gehen gegen Unendlich also l'hospital. Zähler und Nenner getrennt ableiten. Ableitung von ln(x) ist 1/x oder x^{-1}

Answer 1

Nun weis ich nicht, wie ich dieses Ausdruck als Wurzel schreiben soll?

Brauchst du nicht. Wurzeln sind nur eine andere Schreibweise für gebrochene Potenzen.

Die Potenzdarstellung hat aber den entscheidenden Vorteil, dass du die Potenzgesetze 

sofort anwenden kannst.

$$ f(x)=\sqrt [ 3 ]{ x }=x^{1/3}\\f'(x)=\frac { 1 }{ 3 }x^{-2/3}\\\frac { \frac { 1 }{ x } }{  \frac { 1 }{ 3 }x^{-2/3}}=3x^{-1}x^{2/3}\\=3x^{-1/3}\to0 $$

Merkregel:

Der Logarithmus wächst langsamer als jede noch so kleine positive Potenz von x.

Comments

An dieser Stelle habe ich mal eine Frage.

Ist x^{2/3} gleich ³√(x^2) oder (³√x)^2?

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Für x ≥ 0 gilt beides. Es ist ja 2/3 = 2*1/3 = 1/3*2, also kommutativ ;).

Siehe auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Die_Wurzelgesetze

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Für x>=0 gibt das alles dasselbe:   x^{2/3}= ³√(x²) = (³√x)²

Üblicherweise definiert man:

$$ x^{m/n}=\sqrt [ n ]{ x^m } $$

wobei x>=0

Answer 2

Hier meine Berechnungen.

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

³√(x²). Fülltext.

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Woher weiss man dass es nicht andersrum ist?