Ordnungsrelationen: Quasi-Ordnung

Question

erneut eine Frage die sich ums Beweisen dreht.

Eine Quasi-Ordnung auf einer Menge M sie eine Teilmenge R von Paaren aus dem kartesischem Produkt MxM. Es soll gelten:

(x,x) ist in R (Reflexiv)

Wenn (x,y) und (y,z) in R dann auch (x,z) in R (Transitiv).

Es geht um die Teilmenge ⊆ (nicht echte Teilmenge) auf der Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Ich soll beweisen das diese eine Quasi-Ordnung definiert und zeigen das diese nicht symmetrisch ist.

Leider weiß ich nicht, wie ich dort nun vorgehen soll.

Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, geht es ja um :

Pot(N) x Pot(N)

Da nach der Definition der Potenzmenge (Die Menge aller Teilmengen) und des Kartesischen Produkt (x,x) vorkommen muss, ist diese Reflexiv, ebenfalls ja auch transitiv.

Wie beweise ich das? Und wie steht es um die Symmetrie?

Answer 1

Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, geht es ja um :

Pot(N) x Pot(N)   nicht ganz, es geht um eine Teilmenge davon, nämlich

R = { (X,Y) ∈ Pot(N) x Pot(N)   |    X ⊆ Y }

R ist reflexiv, weil für jedes X ∈ Pot(N)  gilt    X ⊆ X

und transitiv, weil gilt

  X ⊆ Y   ∧   Y ⊆ Z   ==>     X ⊆ Z

und symmetrisch ist die nicht, weil etwa

{1}   ⊆ {1;2} gilt   aber {1;2}   ⊆ {1} nicht

Comments

Ah Jetzt habe ich es verstanden.