quasi und Normen. Gilt deswegen die Konvergenz der Funktionenfolge?

Question

$$f_n, f \in L^p, 1 \leq p < +\infty$$ $$f_n \rightarrow f \text{ quasi }$$ und $$||f_n||_p \rightarrow ||f||_p$$

Gilt es dass $$\lim \inf |f_n|^p=|f|^p$$ weil

$$||f_n||_p\rightarrow ||f||_p \Rightarrow \left( \int |f_n|^p\right)^{1/p}\rightarrow \left( \int |f|^p\right)^{1p}$$ ?

Comments

Mit "quasi" meine ich "fast überall"

Answer 1

falls der Limes existiert (so wie hier) ist er gleich dem Limes inferior (und superior).

Also, ja.

(Aber wie kommst du auf "quasi"? Das hab ich noch in keinerlei mathematischen Kontext gesehen)

Comments

Und folgt es dass $$\lim \inf ||f_n||^p=||f||^p$$ von $$f_n \rightarrow \text{ fast überall }$$ oder von $$||f_n||_p \rightarrow ||f||_p$$ ??

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Von letzterem, da Ersteres nicht die Existenz des p-ten Moments sicherstellt.

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Ok!! und wovon folgt es dass $$\lim \sup |f_n-f|^p=0$$ ?? Von $$f_n \rightarrow f  \text{ fast überall }$$ ??

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Von beiden Voraussetzungen würde das folgen.

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Wie folgt es von beiden Voraussetzungen?