gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge mit Dgl

Question

Aufgabe:

zeigen Sie dass folgende Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist

_u0(t) = 1

u_n+1(t) := u_n(0) + ∫ cos(s)u_n (s) ds (t ≥ 0)  wobei die Grenzen des Integrals 0 und t sind

Problem/Ansatz:

Ich habe das Anfangswertproblem gelöst kam auf die Funktion e^sin(t)

Wie gehe ich aber vor um gleichmäßige Konvergenz zu beweisen? Wie kann ich |u_n(t) - u(t)| nach oben abschätzen?

Danke im Voraus

Comments

Ich vermute, dass Du Dir aus Eurem Beweis des Satzes von Picard Lindelöf ein paar Infos für diese Aufgabe herausfiltern sollst...

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Das könnte passen, den Satz von Lindelof hatten wir erst vor kurzem in der Vorlesung. Der Satz besagt aber nur dass eine eindeutige bestimmte Funktion existiert die die Dgl löst.

Hängt die gleichmäßiger Konvergenz mit lokal Lipschitz zusammen oder was ist da der Zusammenhang?

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Vielleicht sollst Du auch einfach nur die u_n berechnen und direkt zeigen, dass Sie glm konvergieren.

Answer 1

Aus der Rekursiongleichung ergibt sich folgende Reihe

$$ u_1(t) = 1 + \sin(t)  $$

$$ u_2(t) = 1 + \sin(t) + \frac{1}{2} \sin^2(t) $$

$$ u_3(t) = 1 + \sin(t) + \frac{1}{2} \sin^2(t) + \frac{1}{6} \sin^3(t) $$

Allgemein also

$$  u_n(t) = \sum_{k=0}^n \frac{\sin^k(t)}{k!} $$

Weiter gilt $$ \left| e^{\sin(t)} - \sum_{k=0}^n \frac{\sin^k(t)}{k!}  \right| \left| \sum_{k=0}^\infty \frac{\sin^k(t)}{k!} - \sum_{k=0}^n \frac{\sin^k(t)}{k!}  \right| = \left| \sum_{k=n+1}^n \frac{\sin^k(t)}{k!}  \right| \le \left| \sum_{k=n+1}^n \frac{1}{k!}  \right|   \le \\ \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}} = \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^{k}} = 2 -\frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = \left( \frac{1}{2}\right)^{n-1} < \varepsilon $$ falls \( n \) groß genug ist.

$$ n > 1 - \frac{\ln(\epsilon)}{\ln(2)}  $$