gleichmäßige konvergenz funktionenfolge

Question

Die Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Folge von Funktionen f_n [0,inf) -> [0,inf), x -> (x/n^2)*exp(-x/n) gleichmäfig gegen Null konvergiert.

Hinweis: Finden Sie eine geeignete Nullfolge b_n mit |f_n| <= b_n für alle x [0,inf)

Die Frage: Wie finde ich eine solche Nullfolge und was tu ich dann mit der? Ich finde einfach keinen Ansatz..

Answer 1

Aloha :)

Laut Aufgabenstellung können wir \(x\in[0;\infty)\), also \(x\ge0\) voraussetzen.$$f_n(x)=\frac{x}{n^2}e^{-x/n}=\frac{1}{n}\frac{x/n}{e^{x/n}}$$Wir schätzen ab:$$e^{x/n}\ge1+x/n\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{e^{x/n}}\le\frac{1}{1+x/n}\quad\Rightarrow\quad f_n(x)\le\frac{1}{n}\frac{x/n}{1+x/n}<\frac{1}{n}$$Sei nun \(\varepsilon>0\) beliebig, aber fest gewählt. Dann ist:

$$\left|f_n(x)-0\right|=\left|f_n(x)\right|<\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon\quad\text{für alle } n\ge N_0:=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil$$Da die Definition der gleichmäßigen Konvergenz gegen \(0\) für fast alle \(n\in\mathbb{N}\) erfüllt ist, konvergiert die Funktionenfolge \(f_n(x)\) gleichmäßig gegen \(0\).

Comments

Danke. Ich hätte da aber eine Frage zur ersten Zeile: Warum wird aus e^-x/n ein e^x/n?

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Okay hat sich erledigt.

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Oha, da hätte ich vielleicht noch einen Zwischenschritt einfügen sollen, damit es besser verständlich ist:$$f_n(x)=\frac{x}{n^2}e^{-x/n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{x}{n}\cdot\frac{1}{e^{x/n}}=\frac{1}{n}\,\frac{x/n}{e^{x/n}}$$