Stetige Erweiterung an der Stelle 1

Question

Ich soll die stetige Erweiterung an der Stelle 1 bei der Funktion x-> (x^2-1)/(x-1) berechnen, die Funktion ist da logischerweise nicht definiert.

Wie kann ich diesen Wert jetzt sinnvoll ausrechnen und die Rechnung vernünftig aufschreiben? Man muss ja irgendwie mit dem Grenzwert (lim) 1 hantieren.

_{Fehlende Klammern ergänzt! (az0815)}

Comments

Kannst du dich noch an die binomischen Formeln (Klasse 8 oder so) erinnern?

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Was sollen die denn damit zu tun haben?

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Damit könnte man den Zähler faktorisieren und dann den Nenner wegkürzen...

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Das ist aber nicht Sinn der Aufgabe befürchte ich.

Answer 1

Vernünftig aufschreiben könntest du die Rechnung folgendermaßen:$$\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2.$$Daher lässt sich die Funktion \(f\) vermöge \(f(1):=2\) an der Stelle \(x=1\) stetig fortsetzen.

Comments

"Das ist aber nicht Sinn der Aufgabe befürchte ich."

Ich bin sicher, dass diese Befürchtung nicht sehr berechtigt ist!

@nn: Sehr gute Antwort!

Answer 2

f ( x ) = (x²-1)/(x-1)

[ ( x + 1 ) * ( x - 1 ) ] / ( x - 1 )  | kürzen

f ^* ( x ) = x + 1
Dies ist jetzt eine andere Funktion weil die
Lücke gehoben oder stetig erweitert wurde.