f monotone Funktion mit f(a) = lim f(a ± 1/n) für n-> unendlich. Zeige: f stetig an der Stelle a

Question

Aufgabe:

Seien \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine monotone Funktion und \( a \in \mathbb{R} \) mit

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(a-\frac{1}{n}\right)=f(a) \quad \text { und } \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(a+\frac{1}{n}\right)=f(a) \)

dass \( f \) dann stetig an der Stelle \( a \) ist.

Comments

1/n für n→∞ geht gegen Null.

Frage ich anders: Welchen Wert nimmt 1/999999999999999999999999999999999999 an?

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Der Grenzwert für n gegen Unendlich bei dem zu untersuchenden Term 1/n geht erfahrungsgemäß gegen Null, weil der Nenner "schneller wächst" als der Zähler.

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ah ok dann bleibt doch einfach nur noch f(a) oder?

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sieht danach aus .-)

Answer 1

Muss die selbe aufgabe gerade machen und habe mir gedacht es kännte reichen zu zeigen, dass

$$ \left| f(a+\frac { 1 }{ n } )\quad +\quad f(a) \right| \lt \epsilon \quad mit\quad \left| a+\frac { 1 }{ n } -a \right| =\quad \left| \frac { 1 }{ n } \right| :=\frac { \delta }{ 2 } \quad <\delta$$

also quasi zu definieren, dass

$$\left| \frac { 1 }{ n } \right| :=\frac { \delta }{ 2 }$$

Dasselbe dann noch mit f(a-1/n) zeigen.

Bin mir nicht sicher ob das so geht, was hältst du davon?